Determine se os seguintes vetores são linearmente independentes em :
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar se os vetores são linearmente independentes no espaço , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 3. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de independência linear e aplicar isso aos polinômios dados.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa vetores serem linearmente independentes. Em termos simples, um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é quando todos os coeficientes dessa combinação são zero. Ou seja, se temos:
Então, para que os vetores sejam independentes, a única solução para e deve ser e .
Passo 3
Agora, vamos montar a equação baseada na definição acima:
Nosso objetivo é encontrar os valores de e que satisfazem essa equação para todos os valores de . Vamos expandir a equação:
Passo 4
Reorganizando os termos, temos:
Para que essa equação seja verdadeira para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Isso nos dá um sistema de equações:
Coeficiente de :
Coeficiente de :
Termo constante:
Passo 5
Vamos resolver o sistema de equações:
De , já sabemos que .
De , temos que .
Substituindo e na terceira equação: , que confirma nossa solução.
Resposta
Como a única solução para e é e , os vetores são linearmente independentes em .