Determine se os seguintes vetores são linearmente independentes em P3 :
x+2, x^2-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar se os vetores x+2, x^2-1 são linearmente independentes no espaço P3, que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 3. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de independência linear e aplicar isso aos polinômios dados.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa vetores serem linearmente independentes. Em termos simples, um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é quando todos os coeficientes dessa combinação são zero. Ou seja, se temos:
a(x + 2) + b(x^2 - 1) = 0
Então, para que os vetores sejam independentes, a única solução para a e b deve ser a = 0 e b = 0.

Passo 3

Agora, vamos montar a equação baseada na definição acima:
a(x + 2) + b(x^2 - 1) = 0
Nosso objetivo é encontrar os valores de a e b que satisfazem essa equação para todos os valores de x. Vamos expandir a equação:
a cdot x + 2a + b cdot x^2 - b = 0

Passo 4

Reorganizando os termos, temos:
b cdot x^2 + a cdot x + (2a - b) = 0
Para que essa equação seja verdadeira para todo x, os coeficientes de cada potência de x devem ser iguais a zero. Isso nos dá um sistema de equações:
  1. Coeficiente de x^2: b = 0
  2. Coeficiente de x: a = 0
  3. Termo constante: 2a - b = 0

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações:
  1. De b = 0, já sabemos que b = 0.
  2. De a = 0, temos que a = 0.
  3. Substituindo a e b na terceira equação: 2(0) - 0 = 0, que confirma nossa solução.

Resposta

Como a única solução para a e b é a = 0 e b = 0, os vetores x+2, x^2-1 são linearmente independentes em P3.

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