Encontre o centro, focos e eixos e vértices da hipérbole equilátera e faça o gráfico Colocar assintonas. -x^2+4 x+y^2-2 y-7=0
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Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de hipérbole! A gente precisa encontrar o centro, os focos, os eixos e os vértices da hipérbole dada pela equação . Para isso, vamos usar o conteúdo de cônicas, especificamente as hipérboles. Vamos precisar completar o quadrado para colocar a equação na forma padrão da hipérbole.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos de - x^2 + 4x + y^2 - 2y = 7 e os de :
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de e de .

Passo 3

Para os termos de - x^2 + 4x = - (x^2 - 4x) :
x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4
Completando o quadrado:
- (x^2 - 4x) = - (x - 2)^2 + 4
Então:

Passo 4

Para os termos de y^2 - 2y = (y - 1)^2 - 1 :

Passo 5

Substituindo de volta na equação original:
- (x - 2)^2 + 4 + (y - 1)^2 - 1 = 7
Simplificando:
- (x - 2)^2 + (y - 1)^2 + 3 = 7
- (x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 4

Passo 6

Vamos reorganizar para a forma padrão da hipérbole. Dividindo ambos os lados por 4:
(y - 1)^24 - (x - 2)^24 = 1
Essa é a forma padrão de uma hipérbole com eixo vertical:
(y - k)^2a^2 - (x - h)^2b^2 = 1

Passo 7

Identificando os parâmetros:
h = 2, k = 1, a^2 = 4 Rightarrow a = 2, b^2 = 4 Rightarrow b = 2
Portanto, o centro da hipérbole é .

Passo 8

Para encontrar os vértices, movemos Vértices: (2, 1 pm 2) Rightarrow (2, 3) e (2, -1) unidades ao longo do eixo vertical a partir do centro:
é

Passo 9

Os focos são encontrados usando a fórmula c = raiz4 + 4 = raiz8 = 2raiz2 :
Focos: (2, 1 pm 2raiz2)
Então, os focos estão a unidades do centro ao longo do eixo vertical:

Passo 10

Os eixos da hipérbole são:
  • Eixo Transversal (vertical): passa pelos vértices.
  • Eixo Conjugado (horizontal): passa pelo centro.

Passo 11

Resumo:
  • Centro:
  • Vértices: e
  • Focos: e
  • Eixos:
    • Eixo Transversal: Vertical
    • Eixo Conjugado: Horizontal

Resposta

Centro:
Vértices: e
Focos: e
Eixos:
  • Eixo Transversal: Vertical
  • Eixo Conjugado: Horizontal

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