Encontre o centro, focos e eixos e vértices da hipérbole equilátera e faça o gráfico Colocar assintonas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de hipérbole! A gente precisa encontrar o centro, os focos, os eixos e os vértices da hipérbole dada pela equação . Para isso, vamos usar o conteúdo de cônicas, especificamente as hipérboles. Vamos precisar completar o quadrado para colocar a equação na forma padrão da hipérbole.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos de e os de :
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de e de .
Passo 3
Para os termos de :
Completando o quadrado:
Então:
Passo 4
Para os termos de :
Passo 5
Substituindo de volta na equação original:
Simplificando:
Passo 6
Vamos reorganizar para a forma padrão da hipérbole. Dividindo ambos os lados por 4:
Essa é a forma padrão de uma hipérbole com eixo vertical:
Passo 7
Identificando os parâmetros:
Portanto, o centro da hipérbole é .
Passo 8
Para encontrar os vértices, movemos unidades ao longo do eixo vertical a partir do centro:
Passo 9
Os focos são encontrados usando a fórmula :
Então, os focos estão a unidades do centro ao longo do eixo vertical:
Passo 10
Os eixos da hipérbole são:
Eixo Transversal (vertical): passa pelos vértices.