Obtenha uma equação geral do plano pi que passa por A=(0,1,2) e tem vetores diretores u=(4,1,2) e v=(2,1,-2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação geral de um plano que passa pelo ponto e tem como vetores diretores e . Vamos precisar de conhecimentos sobre vetores diretores e produto vetorial para encontrar o vetor normal do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para achar a equação de um plano, a gente precisa de um vetor normal a esse plano. Esse vetor normal pode ser encontrado fazendo o produto vetorial dos dois vetores diretores e .

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial n = i & j & k 4 & 1 & 2 2 & 1 & -2 . Usando as componentes dos vetores:
n = i(1 cdot (-2) - 2 cdot 1) - j(4 cdot (-2) - 2 cdot 2) + k(4 cdot 1 - 1 cdot 2)
n = i(-2 - 2) - j(-8 - 4) + k(4 - 2)
n = -4i + 12j + 2k
Então, o vetor normal é .

Passo 4

Agora que temos o vetor normal a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0 e um ponto pelo qual o plano passa, podemos usar a equação geral do plano:
Onde são as componentes do vetor normal e são as coordenadas do ponto .

Passo 5

Substituindo os valores que temos na equação:
-4(x - 0) + 12(y - 1) + 2(z - 2) = 0
Simplificando:
-4x + 12y - 12 + 2z - 4 = 0
-4x + 12y + 2z - 16 = 0

Resposta

A equação geral do plano é:
-4x + 12y + 2z - 16 = 0

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