Escreva a P.G. cuja razão é
e a soma dos cinco primeiros termos é 422.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente escrever uma Progressão Geométrica (P.G.) que tem uma razão de
e a soma dos cinco primeiros termos é 422. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona uma P.G., usar a fórmula da soma dos termos de uma P.G. e fazer umas contas para achar os termos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma Progressão Geométrica. Uma P.G. é uma sequência de números onde cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante. Essa razão é representada por “r”. No nosso caso, a razão é
.
Passo 3
Agora, vamos chamar o primeiro termo da P.G. de “a₁”. Então, os cinco primeiros termos da P.G. serão:
- a₁
- a₁ × r
- a₁ × r²
- a₁ × r³
- a₁ × r⁴
Onde “r” é a razão, que já sabemos ser
.
Passo 4
A próxima coisa que precisamos é a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma P.G., que é:
Aqui,
é a soma dos n primeiros termos, “a₁” é o primeiro termo, “r” é a razão, e “n” é o número de termos que queremos somar. No nosso caso,
,
e
.
Passo 5
Vamos substituir os valores na fórmula para encontrar “a₁”:
Primeiro, vamos calcular
:
Então, substituindo de novo:
Simplificando:
Passo 6
Agora, para encontrar “a₁”, vamos isolar ele na equação:
Então, o primeiro termo “a₁” é 32.
Passo 7
Com o primeiro termo encontrado, vamos escrever os cinco primeiros termos da P.G.:
- a₁ = 32
- a₂ = 32 ×
= 48 - a₃ = 48 ×
= 72 - a₄ = 72 ×
= 108 - a₅ = 108 ×
= 162
Resposta
A Progressão Geométrica é: 32, 48, 72, 108, 162.
Exercícios relacionados
b) Obtenha o 20o termo da progressão geométrica
.
Determine se a sequência
converge ou diverge e se a série
converge ou diverge.
. (a sequência converge para
e a série diverge.)
Quantos termos tem a PA (5, 10, …, 785)?
A) 157
B) 205
C) 138
D) 208
A) 157
B) 205
C) 138
D) 208
Usando as coordenadas cilíndricas: