Escreva a P.G. cuja razão é e a soma dos cinco primeiros termos é 422.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente escrever uma Progressão Geométrica (P.G.) que tem uma razão de e a soma dos cinco primeiros termos é 422. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona uma P.G., usar a fórmula da soma dos termos de uma P.G. e fazer umas contas para achar os termos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma Progressão Geométrica. Uma P.G. é uma sequência de números onde cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante. Essa razão é representada por “r”. No nosso caso, a razão é .

Passo 3

Agora, vamos chamar o primeiro termo da P.G. de “a₁”. Então, os cinco primeiros termos da P.G. serão:
  • a₁
  • a₁ × r
  • a₁ × r²
  • a₁ × r³
  • a₁ × r⁴
Onde “r” é a razão, que já sabemos ser .

Passo 4

A próxima coisa que precisamos é a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma P.G., que é:
Aqui, é a soma dos n primeiros termos, “a₁” é o primeiro termo, “r” é a razão, e “n” é o número de termos que queremos somar. No nosso caso, , e .

Passo 5

Vamos substituir os valores na fórmula para encontrar “a₁”:
Primeiro, vamos calcular :
Então, substituindo de novo:
Simplificando:

Passo 6

Agora, para encontrar “a₁”, vamos isolar ele na equação:
Então, o primeiro termo “a₁” é 32.

Passo 7

Com o primeiro termo encontrado, vamos escrever os cinco primeiros termos da P.G.:
  • a₁ = 32
  • a₂ = 32 × = 48
  • a₃ = 48 × = 72
  • a₄ = 72 × = 108
  • a₅ = 108 × = 162

Resposta

A Progressão Geométrica é: 32, 48, 72, 108, 162.

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b) Obtenha o 20o termo da progressão geométrica .
Determine se a sequência converge ou diverge e se a série converge ou diverge. . (a sequência converge para e a série diverge.)
Quantos termos tem a PA (5, 10, …, 785)?
A) 157
B) 205
C) 138
D) 208
Usando as coordenadas cilíndricas: