Determine se a série converge ou diverge:
. (diverge.)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência que aprendemos na matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o termo geral da série, que é . Essa expressão pode ser escrita como . Nosso objetivo é descobrir o comportamento desses termos à medida que cresce muito, ou seja, quando tende ao infinito.

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite do termo geral quando vai para o infinito:
Sabemos que é a raiz n-ésima de 2, e conforme aumenta, essa raiz se aproxima de 1. Portanto:

Passo 4

Com esse limite, podemos aplicar o Teste da Divergência (ou Teste do Termo Geral), que diz o seguinte: se o limite do termo geral de uma série não for zero, então a série diverge. No nosso caso, o limite é 1, que não é zero.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados

Determine se a sequência converge ou diverge e se a série converge ou diverge.
. (a sequência converge para 0 e a série converge para .)
Nos problemas , resolva a equação diferencial dada por meio de uma substituição apropriada.
15.
16.
17.
18.
19.)
Determine se a série converge ou diverge:
. (diverge.)
Use testes para verificação de convergência e divergência.
. (diverge-teste da divergência.)