Determine se a série converge ou diverge:
. (diverge.)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência que aprendemos na matemática.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o termo geral da série, que é
. Essa expressão pode ser escrita como
. Nosso objetivo é descobrir o comportamento desses termos à medida que
cresce muito, ou seja, quando
tende ao infinito.
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite do termo geral quando
vai para o infinito:
Sabemos que
é a raiz n-ésima de 2, e conforme
aumenta, essa raiz se aproxima de 1. Portanto:
Passo 4
Com esse limite, podemos aplicar o Teste da Divergência (ou Teste do Termo Geral), que diz o seguinte: se o limite do termo geral de uma série não for zero, então a série diverge. No nosso caso, o limite é 1, que não é zero.
Resposta
A série
diverge.