Determine se a série converge ou diverge:
sumn=1^infty(pi3)^n. (diverge.)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que determinar se a série converge ou diverge. Para resolver isso, vamos usar o conceito de série geométrica e seus critérios de convergência.

Passo 2

Uma série geométrica é uma soma infinita onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão sumn=0^infty ar^n . A série geral fica assim:
onde é o primeiro termo da série e é a razão.

Passo 3

Para que uma série geométrica convirja, a razão |r| < 1 deve satisfazer a condição:
Se , a série diverge, ou seja, não soma a um valor finito.

Passo 4

Vamos identificar a razão sumn=1^infty(pi3)^n na nossa série:
Aqui, a razão é .

Passo 5

Agora, vamos verificar se |pi3| approx 3,14163 approx 1,0472 :
Como , a condição não é satisfeita.

Passo 6

Como , de acordo com o critério das s��ries geométricas, a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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