Verifique as seguintes três aplicações da Proposição 1.9.
Se uma sequênciá têm duas subsequências convergentes, mas com limites diferentes, então a sequência não converge.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo a questão. A gente tem uma proposição que diz: “Se uma sequência tem duas subsequências convergentes, mas com limites diferentes, então a sequência não converge.” O conteúdo aqui é sobre convergência de sequências e subsequências. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma sequência convergir e o que são subsequências.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma sequência convergir. Uma sequência limn to infty an = L converge para um limite se, conforme os termos da sequência aumentam (ou seja, vai para infinito), os termos se aproximam cada vez mais de . Em termos matemáticos, dizemos que:

Passo 3

Agora, vamos falar sobre subsequências. Uma subsequência de é simplesmente uma nova sequência formada pegando alguns termos da sequência original, mantendo a ordem. Por exemplo, se temos , uma subsequência poderia ser .

Passo 4

A proposta que estamos verificando afirma que se a sequência original tem duas subsequências que convergem para limites diferentes, então a sequência original não pode convergir. Vamos entender por quê.

Passo 5

Suponha, para contradeir, que a sequência seja convergente e que converja para um limite . Isso significa que todas as subsequências de também deveriam convergir para o mesmo limite . Isso acontece porque, se a sequência toda está se aproximando de , qualquer parte dela (subsequência) também está se aproximando de .

Passo 6

Agora, de acordo com a proposição, temos duas subsequências: digamos que converge para e que converge para , com . Se a sequência realmente converges para , então necessariamente e , ou seja, os dois limites das subsequências deveriam ser iguais.

Passo 7

Mas como na nossa hipótese , isso cria uma contradição com a suposição de que a sequência converge para um único limite . Ou seja, não dá para ter uma sequência que convirge para e, ao mesmo tempo, tenha subsequências convergindo para limites diferentes.

Passo 8

Portanto, chegamos à conclusão de que se uma sequência tem duas subsequências convergentes com limites diferentes, a sequência original não pode convergir.

Resposta

Se uma sequência tem duas subsequências convergentes com limites diferentes, então a sequência não converge.

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