Verifique as seguintes três aplicações da Proposição 1.9.
Se uma sequênciá têm duas subsequências convergentes, mas com limites diferentes, então a sequência não converge.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo a questão. A gente tem uma proposição que diz: “Se uma sequência tem duas subsequências convergentes, mas com limites diferentes, então a sequência não converge.” O conteúdo aqui é sobre convergência de sequências e subsequências. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma sequência convergir e o que são subsequências.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma sequência convergir. Uma sequência converge para um limite se, conforme os termos da sequência aumentam (ou seja, vai para infinito), os termos se aproximam cada vez mais de . Em termos matemáticos, dizemos que:

Passo 3

Agora, vamos falar sobre subsequências. Uma subsequência de é simplesmente uma nova sequência formada pegando alguns termos da sequência original, mantendo a ordem. Por exemplo, se temos , uma subsequência poderia ser .

Passo 4

A proposta que estamos verificando afirma que se a sequência original tem duas subsequências que convergem para limites diferentes, então a sequência original não pode convergir. Vamos entender por quê.

Passo 5

Suponha, para contradeir, que a sequência seja convergente e que converja para um limite . Isso significa que todas as subsequências de também deveriam convergir para o mesmo limite . Isso acontece porque, se a sequência toda está se aproximando de , qualquer parte dela (subsequência) também está se aproximando de .

Passo 6

Agora, de acordo com a proposição, temos duas subsequências: digamos que converge para e que converge para , com . Se a sequência realmente converges para , então necessariamente e , ou seja, os dois limites das subsequências deveriam ser iguais.

Passo 7

Mas como na nossa hipótese , isso cria uma contradição com a suposição de que a sequência converge para um único limite . Ou seja, não dá para ter uma sequência que convirge para e, ao mesmo tempo, tenha subsequências convergindo para limites diferentes.

Passo 8

Portanto, chegamos à conclusão de que se uma sequência tem duas subsequências convergentes com limites diferentes, a sequência original não pode convergir.

Resposta

Se uma sequência tem duas subsequências convergentes com limites diferentes, então a sequência não converge.

Exercícios relacionados

Faça o que se pede:
A sequência é convergente ou divergente. Caso seja convergente, determine seu limite.
Liste os cinco primeiros termos da sequência:
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
(b)
Mostre que para uma sequência ,
se e somente se .
Em geral, se então . Dê exemplo de que não vale a recíproca, a menos que .