Faça o que se pede:
A sequência é convergente ou divergente. Caso seja convergente, determine seu limite.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos analisar a sequência para ver se ela converge ou diverge. Se ela convergir, queremos descobrir o valor para o qual ela tende. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de limite de sequência, especialmente quando envolve termos alternados.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o denominador da sequência, que é . Sabemos que o logaritmo natural, , tende para infinito conforme aumenta. Então, o denominador está crescendo sem limite.

Passo 3

Agora, vamos considerar o numerador, . Esse termo alterna entre e conforme aumenta. Portanto, a sequência tem termos positivos e negativos alternadamente.

Passo 4

Para analisar o limite da sequência, observamos que temos uma forma do tipo . Quando uma sequência alternada tem o numerador limitado e o denominador tende para infinito, o limite tende para zero.

Passo 5

Aplicando isso à nossa sequência, como o numerador é sempre ou e o denominador tende para infinito, o limite da sequência será:

Resposta

A sequência é convergente e seu limite é .

Exercícios relacionados

Liste os cinco primeiros termos da sequência:
a) Calcule o comprimento de onda mínimo e máximo perceptivo pelo ser humano.
Resp.:
b) Repita seus cálculos considerando que a pessoa esteja dentro da água onde a velocidade do som é de . Compare com os resultados do item a).
Verifique as seguintes três aplicações da Proposição 1.9.
Se uma sequênciá têm duas subsequências convergentes, mas com limites diferentes, então a sequência não converge.
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
(b)