Faça o que se pede:
A sequência
é convergente ou divergente. Caso seja convergente, determine seu limite.
A sequência
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos analisar a sequência
para ver se ela converge ou diverge. Se ela convergir, queremos descobrir o valor para o qual ela tende. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de limite de sequência, especialmente quando envolve termos alternados.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o denominador da sequência, que é
. Sabemos que o logaritmo natural,
, tende para infinito conforme
aumenta. Então, o denominador está crescendo sem limite.
Passo 3
Agora, vamos considerar o numerador,
. Esse termo alterna entre
e
conforme
aumenta. Portanto, a sequência tem termos positivos e negativos alternadamente.
Passo 4
Para analisar o limite da sequência, observamos que temos uma forma do tipo
. Quando uma sequência alternada tem o numerador limitado e o denominador tende para infinito, o limite tende para zero.
Passo 5
Aplicando isso à nossa sequência, como o numerador é sempre
ou
e o denominador tende para infinito, o limite da sequência será:
Resposta
A sequência
é convergente e seu limite é
.
Exercícios relacionados
Liste os cinco primeiros termos da sequência:
a) Calcule o comprimento de onda mínimo e máximo perceptivo pelo ser humano.
Resp.:
b) Repita seus cálculos considerando que a pessoa esteja dentro da água onde a velocidade do som é de . Compare com os resultados do item a).
Resp.:
b) Repita seus cálculos considerando que a pessoa esteja dentro da água onde a velocidade do som é de
Verifique as seguintes três aplicações da Proposição 1.9.
Se uma sequênciá têm duas subsequências convergentes, mas com limites diferentes, então a sequência não converge.
Se uma sequênciá têm duas subsequências convergentes, mas com limites diferentes, então a sequência não converge.
Determine se a sequência
converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
(b)
(b)