Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
(f) ;

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma sequência definida por e queremos descobrir se essa sequência converge (ou seja, se ela se aproxima de um número específico quando fica muito grande) ou diverge (não se aproxima de nenhum número específico). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de limites e propriedades da função tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da tangente. Observando , percebemos que tanto o numerador quanto o denominador têm o termo . Podemos dividir ambos por para simplificar:

Passo 3

Agora, vamos analisar o limite dessa fração quando tende ao infinito. Quando fica muito grande, se aproxima de zero. Assim, podemos calcular:

Passo 4

Com isso, a expressão dentro da tangente tende a . Sabemos que:
Isso porque, no círculo trigonométrico, o ângulo (45 graus) corresponde a um valor de tangente igual a 1.

Resposta

A sequência converge e o seu limite é 1.

Exercícios relacionados

Seja . Verifique que não é contínua.
Seja . Verifique que é contínua.
Encontre e expresse em função de . Determine se é monótona e limitada. Calcule .
© ;
Apenas conhecendo o valor de , como saber se o ângulo entre e é:
© Obtuso?