Encontre e expresse em função de . Determine se é monótona e limitada. Calcule .
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Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, o enunciado pede para a gente encontrar o primeiro termo e expressar em função de . Depois, precisamos verificar se a sequência é monótona (ou seja, se está sempre aumentando ou sempre diminuindo) e se ela é limitada (tem um valor máximo e mínimo). Por fim, vamos calcular o limite dessa sequência quando tende ao infinito.
Para isso, vamos trabalhar com uma sequência definida de forma recursiva, onde cada termo depende do termo anterior. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o primeiro termo da sequência. Olhando a sequência dada:
O primeiro termo é claramente . Fácil, né?

Passo 3

Agora, vamos expressar em função de . Observando a sequência, cada novo termo é definido como o inverso de menos o termo anterior. Ou seja:
Então, temos a fórmula recursiva que relaciona cada termo com o anterior.

Passo 4

Vamos verificar se a sequência é monótona. Para isso, precisamos analisar se os termos estão sempre aumentando ou sempre diminuindo.
Começando pelos primeiros termos:
Vemos que cada termo está diminuindo em relação ao anterior. Portanto, a sequência é monótona decrescente.

Passo 5

Agora, vamos verificar se a sequência é limitada. Observando os termos, notamos que os termos estão sempre maiores que e menores que .
Matematicamente, podemos afirmar que:
Então, a sequência é limitada inferiormente por 0 e limitada superiormente por 2.

Passo 6

Por fim, vamos calcular o limite da sequência quando tende ao infinito, ou seja, .
Como a sequência é monótona e limitada, sabemos que o limite existe. Vamos chamar esse limite de . Então, temos:
Agora, resolvemos essa equação para :
Resolvendo a equação quadrática:
Como a sequência é monótona decrescente e começa em , o limite será o menor valor. Portanto:

Resposta

O primeiro termo é , a relação recursiva é . A sequência é monótona decrescente e limitada. O limite da sequência é .

Exercícios relacionados

Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
(f) ;
Seja . Verifique que não é contínua.
Apenas conhecendo o valor de , como saber se o ângulo entre e é:
© Obtuso?
Considere os vetores e . Determine o que se pede.
(a) .