Encontre a1 e expresse an+1 em função de an. Determine se ann=1^infty é monótona e limitada. Calcule lim an.
© 2, 13-2, 13-13-2, ldots;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, o enunciado pede para a gente encontrar o primeiro termo e expressar em função de . Depois, precisamos verificar se a sequência é monótona (ou seja, se está sempre aumentando ou sempre diminuindo) e se ela é limitada (tem um valor máximo e mínimo). Por fim, vamos calcular o limite dessa sequência quando tende ao infinito.
Para isso, vamos trabalhar com uma sequência definida de forma recursiva, onde cada termo depende do termo anterior. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o primeiro termo da sequência. Olhando a sequência dada:
2, 13-2, 13-13-2, ldots
O primeiro termo é claramente . Fácil, né?

Passo 3

Agora, vamos expressar an+1 = 13 - an em função de . Observando a sequência, cada novo termo é definido como o inverso de menos o termo anterior. Ou seja:
Então, temos a fórmula recursiva que relaciona cada termo com o anterior.

Passo 4

Vamos verificar se a sequência a1 = 2 a2 = 13 - 2 = 1 a3 = 13 - 1 = 12 a4 = 13 - 12 = 152 = 25 = 0,4 ldots é monótona. Para isso, precisamos analisar se os termos estão sempre aumentando ou sempre diminuindo.
Começando pelos primeiros termos:
Vemos que cada termo está diminuindo em relação ao anterior. Portanto, a sequência é monótona decrescente.

Passo 5

Agora, vamos verificar se a sequência é limitada. Observando os termos, notamos que os termos estão sempre maiores que 0 < an < 2 para todo n >= 1 e menores que .
Matematicamente, podemos afirmar que:
Então, a sequência é limitada inferiormente por 0 e limitada superiormente por 2.

Passo 6

Por fim, vamos calcular o limite da sequência L = limn to infty an+1 = limn to infty 13 - an = 13 - L quando L = 13 - L L(3 - L) = 1 3L - L^2 = 1 L^2 - 3L + 1 = 0 tende ao infinito, ou seja, L = 3 pm raiz9 - 42 = 3 pm raiz52 .
Como a sequência é monótona e limitada, sabemos que o limite existe. Vamos chamar esse limite de L = 3 - raiz52 approx 0,381966 . Então, temos:
Agora, resolvemos essa equação para :
Resolvendo a equação quadrática:
Como a sequência é monótona decrescente e começa em , o limite será o menor valor. Portanto:

Resposta

O primeiro termo é , a relação recursiva é . A sequência é monótona decrescente e limitada. O limite da sequência é .

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