Encontre
e expresse
em função de
. Determine se
é monótona e limitada. Calcule
.
©
;
©
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, o enunciado pede para a gente encontrar o primeiro termo
e expressar
em função de
. Depois, precisamos verificar se a sequência
é monótona (ou seja, se está sempre aumentando ou sempre diminuindo) e se ela é limitada (tem um valor máximo e mínimo). Por fim, vamos calcular o limite dessa sequência quando
tende ao infinito.
Para isso, vamos trabalhar com uma sequência definida de forma recursiva, onde cada termo depende do termo anterior. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o primeiro termo da sequência. Olhando a sequência dada:
O primeiro termo é claramente
. Fácil, né?
Passo 3
Agora, vamos expressar
em função de
. Observando a sequência, cada novo termo é definido como o inverso de
menos o termo anterior. Ou seja:
Então, temos a fórmula recursiva que relaciona cada termo com o anterior.
Passo 4
Vamos verificar se a sequência
é monótona. Para isso, precisamos analisar se os termos estão sempre aumentando ou sempre diminuindo.
Começando pelos primeiros termos:
Vemos que cada termo está diminuindo em relação ao anterior. Portanto, a sequência é monótona decrescente.
Passo 5
Agora, vamos verificar se a sequência é limitada. Observando os termos, notamos que os termos estão sempre maiores que
e menores que
.
Matematicamente, podemos afirmar que:
Então, a sequência é limitada inferiormente por 0 e limitada superiormente por 2.
Passo 6
Por fim, vamos calcular o limite da sequência
quando
tende ao infinito, ou seja,
.
Como a sequência é monótona e limitada, sabemos que o limite existe. Vamos chamar esse limite de
. Então, temos:
Agora, resolvemos essa equação para
:
Resolvendo a equação quadrática:
Como a sequência é monótona decrescente e começa em
, o limite será o menor valor. Portanto:
Resposta
O primeiro termo é
, a relação recursiva é
. A sequência
é monótona decrescente e limitada. O limite da sequência é
.
Exercícios relacionados
Determine se a sequência
converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
(f) ;
(f)
Seja
. Verifique que
não é contínua.
Apenas conhecendo o valor de
, como saber se o ângulo entre
e
é:
© Obtuso?
© Obtuso?
Considere os vetores
e
. Determine o que se pede.
(a) .
(a)