Determine se a sequência {a_n}_{n=1}^{infinito} converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
(g) a_n = raiz(2^(3n + 1))

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver: temos a sequência e precisamos descobrir se ela converge (isto é, se ela chega perto de um número específico à medida que cresce) ou se diverge (não se aproxima de nenhum número). Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades de potências e raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência para facilitar o cálculo do limite. A raiz -ésima de pode ser escrita como uma potência com expoente fracionário:
Aqui, usamos a propriedade de potências que diz que .

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite dessa expressão quando tende ao infinito. Observamos que, à medida que aumenta, o termo fica cada vez menor e se aproxima de zero. Assim, podemos escrever:
Usamos aqui o fato de que o limite de uma potência contínua é a potência do limite, ou seja, .

Resposta

A sequência converge e o seu limite é .

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