Determine se a sequência
converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
(g)
(g)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver: temos a sequência
e precisamos descobrir se ela converge (isto é, se ela chega perto de um número específico à medida que
cresce) ou se diverge (não se aproxima de nenhum número). Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades de potências e raízes.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência para facilitar o cálculo do limite. A raiz
-ésima de
pode ser escrita como uma potência com expoente fracionário:
Aqui, usamos a propriedade de potências que diz que
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite dessa expressão quando
tende ao infinito. Observamos que, à medida que
aumenta, o termo
fica cada vez menor e se aproxima de zero. Assim, podemos escrever:
Usamos aqui o fato de que o limite de uma potência contínua é a potência do limite, ou seja,
.
Resposta
A sequência converge e o seu limite é
.