Um tanque contém inicialmente 60 gal de ágưa pura. Água salgada contendo 1 lb de sal por galão entra no tanque a uma taxa de
, e a solução (perfeitamente homogênea) deixa o tanque a uma taxa de 3
; o tanque está vazio depois de 1 h . (a) Ache a quantidade de sal no tanque depois de
minutos. (b) Qual a quantidade máxima de sal alcançada no tanque?
Passo 1
Vamos lá! O exercício fala sobre um tanque que inicialmente tem 60 galões de água pura. Água salgada entra no tanque e uma mistura sai dele. A gente precisa descobrir duas coisas: (a) quanto sal tem no tanque depois de
minutos, e (b) qual é a quantidade máxima de sal que o tanque chega a ter. Para resolver isso, vamos usar a teoria de equações diferenciais aplicadas a problemas de mistura.
Passo 2
Primeiro, vamos definir
como a quantidade de sal no tanque em galões após
minutos. A água salgada que entra tem 1 lb de sal por galão e está entrando a uma taxa de 2 gal/min. Então, a taxa de entrada de sal é:
Passo 3
A mistura está saindo a 3 gal/min. A concentração de sal na mistura que sai depende de
e do volume de água no tanque. O volume no tanque inicialmente é 60 galões, e está diminuindo a um ritmo de
. Então, o volume no tempo
é:
Portanto, a concentração de sal na água que sai é
, e a taxa de saída de sal é:
Passo 4
Agora, montamos a equação diferencial que modela a quantidade de sal no tanque:
Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver usando um fator integrante ou outro método de resolução.
Passo 5
Rearranjando a equação diferencial:
O fator integrante
é dado por:
Passo 6
Multiplicamos a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 7
Integrando ambos os lados em relação a
:
Calculando a integral:
Então:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 8
Aplicamos a condição inicial. Sabemos que inicialmente, no
, não há sal no tanque:
Então, a solução fica:
Passo 9
Simplificando a expressão:
Essa é a quantidade de sal no tanque após
minutos.
Passo 10
Para encontrar a quantidade máxima de sal, analisamos o comportamento de
. Normalmente, isso ocorre quando a derivada
. Resolvendo:
Substituindo na expressão de
e resolvendo para
, encontramos o ponto de máximo. Após cálculos, verifica-se que o máximo ocorre próximo ao final do tempo considerado.
Resposta
A quantidade máxima de sal alcançada no tanque é aproximadamente
.
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Determine se a sequência
converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
(g)
(g)
É verdadeiro ou falso?
(h) Se é limitada, então
é convergente.
(h) Se
É verdadeiro ou falso?
(d) Se é convergente, então
é convergente.
(d) Se
Encontre
e expresse
em função de
. Determine se
é monótona e limitada. Calcule
.
(d)
(d)