Um tanque contém inicialmente 60 gal de ágưa pura. Água salgada contendo 1 lb de sal por galão entra no tanque a uma taxa de , e a solução (perfeitamente homogênea) deixa o tanque a uma taxa de 3 ; o tanque está vazio depois de 1 h . (a) Ache a quantidade de sal no tanque depois de minutos. (b) Qual a quantidade máxima de sal alcançada no tanque?

Passo 1

Vamos lá! O exercício fala sobre um tanque que inicialmente tem 60 galões de água pura. Água salgada entra no tanque e uma mistura sai dele. A gente precisa descobrir duas coisas: (a) quanto sal tem no tanque depois de minutos, e (b) qual é a quantidade máxima de sal que o tanque chega a ter. Para resolver isso, vamos usar a teoria de equações diferenciais aplicadas a problemas de mistura.

Passo 2

Primeiro, vamos definir como a quantidade de sal no tanque em galões após minutos. A água salgada que entra tem 1 lb de sal por galão e está entrando a uma taxa de 2 gal/min. Então, a taxa de entrada de sal é:

Passo 3

A mistura está saindo a 3 gal/min. A concentração de sal na mistura que sai depende de e do volume de água no tanque. O volume no tanque inicialmente é 60 galões, e está diminuindo a um ritmo de . Então, o volume no tempo é:
Portanto, a concentração de sal na água que sai é , e a taxa de saída de sal é:
í

Passo 4

Agora, montamos a equação diferencial que modela a quantidade de sal no tanque:
í
Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver usando um fator integrante ou outro método de resolução.

Passo 5

Rearranjando a equação diferencial:
O fator integrante é dado por:

Passo 6

Multiplicamos a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 7

Integrando ambos os lados em relação a :
Calculando a integral:
Então:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 8

Aplicamos a condição inicial. Sabemos que inicialmente, no , não há sal no tanque:
Então, a solução fica:

Passo 9

Simplificando a expressão:
Essa é a quantidade de sal no tanque após minutos.

Passo 10

Para encontrar a quantidade máxima de sal, analisamos o comportamento de . Normalmente, isso ocorre quando a derivada . Resolvendo:
Substituindo na expressão de e resolvendo para , encontramos o ponto de máximo. Após cálculos, verifica-se que o máximo ocorre próximo ao final do tempo considerado.

Resposta

A quantidade máxima de sal alcançada no tanque é aproximadamente .

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