É verdadeiro ou falso?
(h) Se
é limitada, então
é convergente.
(h) Se
Passo 1
Vamos dar uma olhada na questão: “Se a sequência
é limitada, então
é convergente.”. Aqui, estamos falando sobre sequências numéricas, especificamente sobre os conceitos de sequência limitada e sequência convergente. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma sequência ser limitada e o que é convergente, além de verificar se todo sequência limitada necessariamente converge.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma sequência limitada. Uma sequência
é chamada de limitada se existe um número real
tal que para todo
, o valor absoluto de
é menor ou igual a
:
Isso significa que os termos da sequência não ficam infinitamente grandes nem infinitamente pequenos; eles estão “limitados” dentro de certos valores.
Passo 3
Agora, vamos ver o que significa uma sequência ser convergente. Uma sequência
converge para um número real
se, conforme
aumenta, os termos da sequência ficam cada vez mais próximos de
. Formalmente:
Isso quer dizer que a partir de um certo ponto, todos os termos da sequência estão dentro de uma margem
de
.
Passo 4
O próximo passo é analisar a relação entre sequências limitadas e convergentes. A questão sugere que se uma sequência é limitada, então ela é necessariamente convergente. Vamos verificar se isso é verdade.
Passo 5
Na verdade, nem toda sequência limitada é convergente. Para ser convergente, além de ser limitada, a sequência também precisa se aproximar de um único valor
. Existem sequências limitadas que não se aproximam de um único limite.
Passo 6
Exemplo de uma sequência limitada não convergente: Considere a sequência
definida por:
Aqui, os termos da sequência alternam entre 1 e -1:
Esta sequência é limitada porque todos os seus termos estão entre -1 e 1. No entanto, ela não converge, pois não se aproxima de nenhum número específico conforme
aumenta.
Resposta
Falso.