É verdadeiro ou falso?
(h) Se {a_n}_{n=1}^{infinito} é limitada, então {a_n}_{n=1}^{infinito} é convergente.

Passo 1

Vamos dar uma olhada na questão: “Se a sequência é limitada, então é convergente.”. Aqui, estamos falando sobre sequências numéricas, especificamente sobre os conceitos de sequência limitada e sequência convergente. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma sequência ser limitada e o que é convergente, além de verificar se todo sequência limitada necessariamente converge.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma sequência limitada. Uma sequência é chamada de limitada se existe um número real tal que para todo , o valor absoluto de é menor ou igual a :
Isso significa que os termos da sequência não ficam infinitamente grandes nem infinitamente pequenos; eles estão “limitados” dentro de certos valores.

Passo 3

Agora, vamos ver o que significa uma sequência ser convergente. Uma sequência converge para um número real se, conforme aumenta, os termos da sequência ficam cada vez mais próximos de . Formalmente:
Isso quer dizer que a partir de um certo ponto, todos os termos da sequência estão dentro de uma margem de .

Passo 4

O próximo passo é analisar a relação entre sequências limitadas e convergentes. A questão sugere que se uma sequência é limitada, então ela é necessariamente convergente. Vamos verificar se isso é verdade.

Passo 5

Na verdade, nem toda sequência limitada é convergente. Para ser convergente, além de ser limitada, a sequência também precisa se aproximar de um único valor . Existem sequências limitadas que não se aproximam de um único limite.

Passo 6

Exemplo de uma sequência limitada não convergente: Considere a sequência definida por:
Aqui, os termos da sequência alternam entre 1 e -1:
Esta sequência é limitada porque todos os seus termos estão entre -1 e 1. No entanto, ela não converge, pois não se aproxima de nenhum número específico conforme aumenta.

Resposta

Falso.

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