É verdadeiro ou falso?
(d) Se
é convergente, então
é convergente.
(d) Se
Passo 1
Vamos lá! O enunciado nos pergunta se a afirmação “Se a sequência
é convergente, então a sequência
também é convergente” é verdadeira ou falsa. Vamos usar o conteúdo de sequences e convergência para resolver isso e verificar se a convergência de uma sequência depois de um certo número de termos garante a convergência da sequência original.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência ser convergente. Uma sequência
é convergente se existe um número
tal que, conforme
tende ao infinito, os termos da sequência ficam cada vez mais próximos de
. Em símbolos, dizemos que
.
Passo 3
Agora, observe que a sequência
é apenas a sequência original
começando a partir do termo
. Basicamente, estamos ignorando os primeiros 10 termos e olhando para o que acontece depois disso.
Passo 4
A ideia chave aqui é que remover um número finito de termos no começo de uma sequência não afeta sua convergência. Isso ocorre porque a convergência depende do comportamento da sequência conforme
tende ao infinito, ou seja, dos termos para valores muito grandes de
. Portanto, se a parte da sequência a partir de
converge para algum limite
, então a sequência inteira
também deve convergir para o mesmo limite
.
Resposta
Verdadeiro.