Determine se a sequência converge ou diverge. Caso seja convergente, encontre o limite.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma sequência definida por
. O objetivo é descobrir se essa sequência converge ou diverge. Se ela converge, também vamos encontrar o limite dessa sequência. Para isso, vamos usar conceitos de sequência e limite de uma função matemática.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência convergir ou divergir. Uma sequência converge se seus termos se aproximam de um valor específico conforme
cresce sem limite. Esse valor é chamado de limite da sequência. Se os termos não se aproximam de nenhum valor específico, a sequência diverge.
Passo 3
Agora, vamos analisar a parte
da sequência. Sabemos que qualquer número entre 0 e 1 elevado a uma potência que cresce sem limite tende a zero. Ou seja:
Passo 4
Com isso, podemos substituir o limite na expressão da sequência:
Isso mostra que a sequência está se aproximando de 1 conforme
aumenta.
Resposta
A sequência
converge e o seu limite é 1.