Determine se a sequência converge ou diverge. Caso seja convergente, encontre o limite.
n^2 e^(-n)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que analisar a sequência e determinar se ela converge ou diverge. Se ela for convergente, precisamos encontrar o seu limite. Para resolver isso, vamos usar conceitos de sequências e limites, além de observar como as funções polinomiais e exponenciais se comportam conforme aumenta.

Passo 2

Vamos começar observando os componentes da sequência: e . Conforme cresce, também cresce, mas de forma polinomial. Já pode ser reescrito como , que diminui muito rapidamente à medida que aumenta, já que cresce exponencialmente.

Passo 3

Queremos entender o comportamento da sequência quando tende ao infinito. Para isso, escrevemos a sequência como:
Agora, temos uma fração onde o numerador é um polinômio de grau 2 e o denominador é uma função exponencial.

Passo 4

Sabemos que funções exponenciais crescem mais rapidamente do que qualquer função polinomial quando tende ao infinito. Portanto, cresce muito mais rápido que , fazendo com que a fração diminua cada vez mais à medida que aumenta.

Passo 5

Para confirmar, podemos calcular o limite da sequência:
Isso mostra que, à medida que se torna muito grande, a sequência se aproxima de zero.

Resposta

A sequência converge, e o seu limite é .

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