Determine se a sequência converge ou diverge. Caso seja convergente, encontre o limite.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que analisar a sequência
e determinar se ela converge ou diverge. Se ela for convergente, precisamos encontrar o seu limite. Para resolver isso, vamos usar conceitos de sequências e limites, além de observar como as funções polinomiais e exponenciais se comportam conforme
aumenta.
Passo 2
Vamos começar observando os componentes da sequência:
e
. Conforme
cresce,
também cresce, mas de forma polinomial. Já
pode ser reescrito como
, que diminui muito rapidamente à medida que
aumenta, já que
cresce exponencialmente.
Passo 3
Queremos entender o comportamento da sequência
quando
tende ao infinito. Para isso, escrevemos a sequência como:
Agora, temos uma fração onde o numerador é um polinômio de grau 2 e o denominador é uma função exponencial.
Passo 4
Sabemos que funções exponenciais crescem mais rapidamente do que qualquer função polinomial quando
tende ao infinito. Portanto,
cresce muito mais rápido que
, fazendo com que a fração
diminua cada vez mais à medida que
aumenta.
Passo 5
Para confirmar, podemos calcular o limite da sequência:
Isso mostra que, à medida que
se torna muito grande, a sequência se aproxima de zero.
Resposta
A sequência
converge, e o seu limite é
.