Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, também precisamos encontrar o limite. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências, análise de potências e propriedades da função arco seno.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada parte da sequência separadamente. A sequência é composta por dois fatores multiplicativos:
Entender o comportamento de cada um deles quando tende ao infinito nos ajudará a determinar o comportamento geral da sequência.

Passo 3

Vamos começar com o primeiro fator: . Podemos simplificar isso:
Aqui, observamos que é uma sequência geométrica com razão . Como o valor absoluto de é menor que 1 ( ), sabemos que essa sequência converge para zero quando tende ao infinito.

Passo 4

Agora, vamos analisar o segundo fator: . O argumento do arco seno é .
Primeiro, vamos ver o que acontece com quando tende ao infinito:
Isso porque cresce sem limite e o numerador é limitado entre -1 e 1 devido ao . Assim, o argumento do arco seno tende a zero.
Sabemos que é contínuo em e . Portanto:

Passo 5

Agora, juntando as duas partes, temos que a sequência original é o produto de duas sequências que tendem a zero:

Resposta

A sequência converge e o limite é 0.

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Dizemos que uma função DIVERGE A MAIS INFINITO PELA ESQUERDA no ponto se para toda sequência convergindo a pela esquerda tivermos que a correspondente sequência das imagens, , diverge para (mais) infinito.
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.