Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se a sequência
converge ou diverge. Se ela convergir, também precisamos encontrar o limite. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências, análise de potências e propriedades da função arco seno.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada parte da sequência separadamente. A sequência é composta por dois fatores multiplicativos:
Entender o comportamento de cada um deles quando
tende ao infinito nos ajudará a determinar o comportamento geral da sequência.
Passo 3
Vamos começar com o primeiro fator:
. Podemos simplificar isso:
Aqui, observamos que
é uma sequência geométrica com razão
. Como o valor absoluto de
é menor que 1 (
), sabemos que essa sequência converge para zero quando
tende ao infinito.
Passo 4
Agora, vamos analisar o segundo fator:
. O argumento do arco seno é
.
Primeiro, vamos ver o que acontece com
quando
tende ao infinito:
Isso porque
cresce sem limite e o numerador é limitado entre -1 e 1 devido ao
. Assim, o argumento do arco seno tende a zero.
Sabemos que
é contínuo em
e
. Portanto:
Passo 5
Agora, juntando as duas partes, temos que a sequência original é o produto de duas sequências que tendem a zero:
Resposta
A sequência converge e o limite é 0.
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Dizemos que uma função
DIVERGE A MAIS INFINITO PELA ESQUERDA no ponto
se para toda sequência convergindo a
pela esquerda tivermos que a correspondente sequência das imagens,
, diverge para (mais) infinito.
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.