Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar se a sequência converge ou diverge, e se ela converge, achar o limite dela. Para isso, vamos trabalhar com noções de sequência e limites, além de entender como o fatorial ( ) e a potência ( ) se comportam conforme aumenta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma sequência converge se ela se aproxima de um número específico conforme os termos aumentam. O fatorial cresce muito rápido, muito mais rápido que qualquer potência onde é uma constante. Isso significa que, conforme fica grande, o denominador da nossa fração cresce muito mais que o numerador.

Passo 3

Para formalizar isso, podemos usar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar o comportamento de sequências que envolvem fatorial e potências. A ideia é calcular o limite da razão entre termos consecutivos da sequência.

Passo 4

Vamos calcular:

Passo 5

Observando o limite acima, à medida que tende ao infinito, tende a zero. Segundo o Teste da Razão, se esse limite for menor que 1, a sequência converge.

Passo 6

Como o limite da razão é zero, que é menos que 1, concluímos que a sequência converge.

Passo 7

Agora, para achar o limite da sequência, observamos que conforme aumenta, o denominador cresce muito mais rápido que o numerador , fazendo com que a fração inteira se aproxime de zero.

Resposta

A sequência converge e o seu limite é .

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