Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar se a sequência
converge ou diverge, e se ela converge, achar o limite dela. Para isso, vamos trabalhar com noções de sequência e limites, além de entender como o fatorial (
) e a potência (
) se comportam conforme
aumenta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma sequência converge se ela se aproxima de um número específico conforme os termos aumentam. O fatorial
cresce muito rápido, muito mais rápido que qualquer potência
onde
é uma constante. Isso significa que, conforme
fica grande, o denominador da nossa fração cresce muito mais que o numerador.
Passo 3
Para formalizar isso, podemos usar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar o comportamento de sequências que envolvem fatorial e potências. A ideia é calcular o limite da razão entre termos consecutivos da sequência.
Passo 4
Vamos calcular:
Passo 5
Observando o limite acima, à medida que
tende ao infinito,
tende a zero. Segundo o Teste da Razão, se esse limite for menor que 1, a sequência converge.
Passo 6
Como o limite da razão é zero, que é menos que 1, concluímos que a sequência
converge.
Passo 7
Agora, para achar o limite da sequência, observamos que conforme
aumenta, o denominador
cresce muito mais rápido que o numerador
, fazendo com que a fração inteira se aproxime de zero.
Resposta
A sequência
converge e o seu limite é
.
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Dizemos que uma função
DIVERGE A MAIS INFINITO PELA ESQUERDA no ponto
se para toda sequência convergindo a
pela esquerda tivermos que a correspondente sequência das imagens,
, diverge para (mais) infinito.