As funções f e g são definidas abaixo. Defina, para cadá item, as funç oes f + g; f - g; f * g; f/g; g / f f(g) g(f). A seguir, determine o domínio da função resultante:
f(x) = 1/(x-3) e g(x) = x / (x + 1)

Passo 1

Resumo do Enunciado:
Temos duas funções definidas por:
Precisamos definir as seguintes operações entre elas: , , f * g, f/g, g/f, f(g) e g(f). Após definir cada uma dessas funções, devemos determinar o domínio de cada função resultante.
Conteúdo da Matéria:
Operações com funções (adição, subtração, multiplicação, divisão e composição) e determinação de domínio de funções.
Recursos Necessários:
Conhecimento básico sobre funções, operações entre elas e como determinar o domínio de uma função.

Passo 2

Definindo
A operação significa somar as duas funções:
Para somar essas frações, precisamos de um denominador comum, que é :
Simplificando o numerador:
Determinando o Domínio de :
O domínio são todos os valores de x que não fazem o denominador igual a zero. Assim:
Portanto, o domínio de é:

Passo 3

Definindo
A operação significa subtrair g de f:
Usando o denominador comum :
Simplificando o numerador:
Determinando o Domínio de :
Assim como em , o denominador não pode ser zero:
Portanto, o domínio de é:

Passo 4

Definindo f * g
A operação f * g significa multiplicar as duas funções:
Determinando o Domínio de f * g:
Novamente, o denominador não pode ser zero:
Portanto, o domínio de f * g é:

Passo 5

Definindo f/g
A operação f/g significa dividir f por g:
Determinando o Domínio de f/g:
Além de e para evitar zeros no denominador anterior, também precisamos garantir que x != 0 para evitar a divisão por zero na fração resultante.
Portanto, o domínio de f/g é:

Passo 6

Definindo g/f
A operação g/f significa dividir g por f:
Determinando o Domínio de g/f:
Devemos garantir que o denominador não seja zero:
Além disso, x deve estar no domínio de ambas as funções originais, ou seja, .
Portanto, o domínio de g/f é:

Passo 7

Definindo f(g)
A composição f(g) significa aplicar g primeiro e depois f:
Simplificando o denominador:
Portanto:
Determinando o Domínio de f(g):
Para a composição ser válida:
  1. g(x) deve estar no domínio de f, ou seja:
    Resolvendo:
  2. Além disso, o denominador original não pode ser zero:
  3. E, claro, g(x) está definido apenas se .
Portanto, o domínio de f(g) é:

Passo 8

Definindo g(f)
A composição g(f) significa aplicar f primeiro e depois g:
Simplificando o denominador:
Portanto:
Determinando o Domínio de g(f):
Para a composição ser válida:
  1. f(x) deve estar no domínio de g, ou seja:
    Resolvendo:
  2. Além disso, o denominador não pode ser zero:
  3. E, claro, f(x) está definido apenas se .
Portanto, o domínio de g(f) é:

Resposta

As operações e seus respectivos domínios são:
  1. :
    Domínio:
  2. :
    Domínio:
  3. f * g:
    Domínio:
  4. f/g:
    Domínio:
  5. g/f:
    Domínio:
  6. f(g):
    Domínio:
  7. g(f):
    Domínio:

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