As funções e são definidas abaixo. Defina, para cadá item, as funç oes ; ; ; ; . A seguir, determine o domínio da função resultante:
e

Passo 1

Resumo do Enunciado:
Temos duas funções definidas por:
Precisamos definir as seguintes operações entre elas: , , , , , e . Após definir cada uma dessas funções, devemos determinar o domínio de cada função resultante.
Conteúdo da Matéria:
Operações com funções (adição, subtração, multiplicação, divisão e composição) e determinação de domínio de funções.
Recursos Necessários:
Conhecimento básico sobre funções, operações entre elas e como determinar o domínio de uma função.

Passo 2

Definindo
A operação significa somar as duas funções:
Para somar essas frações, precisamos de um denominador comum, que é :
Simplificando o numerador:
Determinando o Domínio de :
O domínio são todos os valores de que não fazem o denominador igual a zero. Assim:
Portanto, o domínio de é:

Passo 3

Definindo
A operação significa subtrair de :
Usando o denominador comum :
Simplificando o numerador:
Determinando o Domínio de :
Assim como em , o denominador não pode ser zero:
Portanto, o domínio de é:

Passo 4

Definindo
A operação significa multiplicar as duas funções:
Determinando o Domínio de :
Novamente, o denominador não pode ser zero:
Portanto, o domínio de é:

Passo 5

Definindo
A operação significa dividir por :
Determinando o Domínio de :
Além de e para evitar zeros no denominador anterior, também precisamos garantir que para evitar a divisão por zero na fração resultante.
Portanto, o domínio de é:

Passo 6

Definindo
A operação significa dividir por :
Determinando o Domínio de :
Devemos garantir que o denominador não seja zero:
Além disso, deve estar no domínio de ambas as funções originais, ou seja, .
Portanto, o domínio de é:

Passo 7

Definindo
A composição significa aplicar primeiro e depois :
Simplificando o denominador:
Portanto:
Determinando o Domínio de :
Para a composição ser válida:
  1. deve estar no domínio de , ou seja:
    Resolvendo:
  2. Além disso, o denominador original não pode ser zero:
  3. E, claro, está definido apenas se .
Portanto, o domínio de é:

Passo 8

Definindo
A composição significa aplicar primeiro e depois :
Simplificando o denominador:
Portanto:
Determinando o Domínio de :
Para a composição ser válida:
  1. deve estar no domínio de , ou seja:
    Resolvendo:
  2. Além disso, o denominador não pode ser zero:
  3. E, claro, está definido apenas se .
Portanto, o domínio de é:

Resposta

As operações e seus respectivos domínios são:
  1. :
    Domínio:
  2. :
    Domínio:
  3. :
    Domínio:
  4. :
    Domínio:
  5. :
    Domínio:
  6. :
    Domínio:
  7. :
    Domínio:

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Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.
As funções e são definidas abaixo. Defina, para cadá item, as funç oes ; ; ; ; . A seguir, determine o domínio da função resultante:
e
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