Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, também vamos encontrar o limite. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e manipulação algébrica para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão da sequência:
Nosso objetivo é entender o comportamento dessa expressão conforme cresce.

Passo 3

Observamos que dentro da raiz temos um polinômio de segundo grau. Para simplificar, vamos fatorar o termo dominante, que é . Reescrevemos a expressão da seguinte forma:
Isso pode ser simplificado para:

Passo 4

Agora, vamos expandir a raiz utilizando a aproximação para grandes valores de . Sabemos que para pequeno:
Aplicando isso na nossa expressão:
Portanto, a expressão fica:

Passo 5

Vamos distribuir o e simplificar:
Agora, observamos que conforme tende ao infinito, o termo tende a zero.

Resposta

A sequência converge e seu limite é .

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As funções e são definidas abaixo. Defina, para cadá item, as funç oes ; ; ; ; . A seguir, determine o domínio da função resultante:
e
Suponhamos que a temperatura em um ponto de um corpo seja . Então o fluxo de calor é definido pelo campo vetorial
onde é uma constante determinada experimentalmente (chamada condutividade da substância). A integral de superfície desse campo determina a taxa de transmissão de calor através da superfície no corpo.
As funções e são definidas abaixo. Defina, para cadá item, as funç oes ; ; ; ; . A seguir, determine o domínio da função resultante:
e
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.