Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.
{raiz(n^2 - 10n + 8) - (n - 3)}_{n ≥ 1}

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar se a sequência {raiz(n^2 - 10n + 8) - (n - 3)}_{n ≥ 1} converge ou diverge. Se ela convergir, também vamos encontrar o limite. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e manipulação algébrica para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão da sequência:
Nosso objetivo é entender o comportamento dessa expressão conforme n cresce.

Passo 3

Observamos que dentro da raiz temos um polinômio de segundo grau. Para simplificar, vamos fatorar o termo dominante, que é . Reescrevemos a expressão da seguinte forma:
Isso pode ser simplificado para:

Passo 4

Agora, vamos expandir a raiz utilizando a aproximação para grandes valores de n. Sabemos que para x pequeno:
Aplicando isso na nossa expressão:
Portanto, a expressão fica:

Passo 5

Vamos distribuir o n e simplificar:
Agora, observamos que conforme n tende ao infinito, o termo tende a zero.

Resposta

A sequência converge e seu limite é -2.

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