Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar se a sequência
converge ou diverge. Se ela convergir, também vamos encontrar o limite. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e manipulação algébrica para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão da sequência:
Nosso objetivo é entender o comportamento dessa expressão conforme
cresce.
Passo 3
Observamos que dentro da raiz temos um polinômio de segundo grau. Para simplificar, vamos fatorar o termo dominante, que é
. Reescrevemos a expressão da seguinte forma:
Isso pode ser simplificado para:
Passo 4
Agora, vamos expandir a raiz utilizando a aproximação para grandes valores de
. Sabemos que para
pequeno:
Aplicando isso na nossa expressão:
Portanto, a expressão fica:
Passo 5
Vamos distribuir o
e simplificar:
Agora, observamos que conforme
tende ao infinito, o termo
tende a zero.
Resposta
A sequência converge e seu limite é
.
Exercícios relacionados
As funções
e
são definidas abaixo. Defina, para cadá item, as funç oes
;
;
;
;
. A seguir, determine o domínio da função resultante:
e
Suponhamos que a temperatura em um ponto
de um corpo seja
. Então o fluxo de calor é definido pelo campo vetorial
onde
é uma constante determinada experimentalmente (chamada condutividade da substância). A integral de superfície desse campo
determina a taxa de transmissão de calor através da superfície
no corpo.
As funções
e
são definidas abaixo. Defina, para cadá item, as funç oes
;
;
;
;
. A seguir, determine o domínio da função resultante:
e
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.