As funções
e
são definidas abaixo. Defina, para cadá item, as funç oes
;
;
;
;
. A seguir, determine o domínio da função resultante:
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas funções,
e
. A tarefa é definir várias operações entre essas funções, como soma, subtração, multiplicação, divisão e composição, e depois descobrir o domínio de cada função resultante. Para isso, vamos precisar entender como somar, subtrair, multiplicar, dividir funções e também como funciona a composição de funções. Vamos nessa!
Passo 2
1. Soma das funções:
Primeiro, vamos somar as duas funções:
Determinando o domínio:
O domínio de
é o conjunto de valores de
onde ambas as funções
e
estão definidas.
- Para
, a expressão dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero:
- Para
, todo número real é válido, então o domínio é .
Portanto, o domínio de
é
.
Passo 3
2. Subtração das funções:
Vamos agora subtrair
de
:
Determinando o domínio:
Assim como na soma, o domínio de
é onde ambas as funções estão definidas.
-
requer . -
está definido para todo .
Logo, o domínio de
também é
.
Passo 4
3. Multiplicação das funções:
Multiplicamos as duas funções:
Determinando o domínio:
Novamente, precisamos que ambas as funções estejam definidas.
-
exige . -
é válido para todo .
Portanto, o domínio de
é
.
Passo 5
4. Divisão das funções:
Dividimos
por
:
Determinando o domínio:
Para a divisão estar definida:
-
Ambas as funções devem estar definidas:
-
-
O denominador não pode ser zero:
-
Como
nunca é zero para números reais (porque
e adicionamos 4), não há restrição adicional.
Então, o domínio de
é
.
Passo 6
5. Divisão das funções:
Agora, dividimos
por
:
Determinando o domínio:
Para essa divisão:
-
Ambas as funções devem estar definidas:
-
-
O denominador não pode ser zero:
-
Portanto, o domínio de
é
.
Passo 7
6. Composição das funções:
A composição
significa que a gente vai colocar
dentro de
:
Determinando o domínio:
Para
:
- Primeiro,
está definido para todo . - Depois, a expressão dentro de
precisa ser válida:
Como
, então
está sempre válido.
Logo, o domínio de
é
.
Passo 8
7. Composição das funções:
Agora, a gente vai compor
, ou seja, colocar
dentro de
:
Determinando o domínio:
Para
:
- Primeiro,
exige . - Depois, aplicar
a não impõe nenhuma restrição adicional, já que está definida para todo .
Portanto, o domínio de
é
.
Resposta
As funções resultantes e seus domínios são:
-
(x) = , domínio: -
(x) = , domínio: -
(x) = , domínio: -
(x) = , domínio: -
(x) = , domínio: -
(x) = , domínio: -
(x) = , domínio:
Exercícios relacionados
Suponhamos que a temperatura em um ponto
de um corpo seja
. Então o fluxo de calor é definido pelo campo vetorial
onde
é uma constante determinada experimentalmente (chamada condutividade da substância). A integral de superfície desse campo
determina a taxa de transmissão de calor através da superfície
no corpo.
Determine o conjunto solução da desigualdade em
.
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.
As funções
e
são definidas abaixo. Defina, para cadá item, as funç oes
;
;
;
;
. A seguir, determine o domínio da função resultante:
e