As funções e são definidas abaixo. Defina, para cadá item, as funç oes ; ; ; ; . A seguir, determine o domínio da função resultante:
e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas funções, e . A tarefa é definir várias operações entre essas funções, como soma, subtração, multiplicação, divisão e composição, e depois descobrir o domínio de cada função resultante. Para isso, vamos precisar entender como somar, subtrair, multiplicar, dividir funções e também como funciona a composição de funções. Vamos nessa!

Passo 2

1. Soma das funções:
Primeiro, vamos somar as duas funções:
Determinando o domínio:
O domínio de é o conjunto de valores de onde ambas as funções e estão definidas.
  • Para , a expressão dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero:
  • Para , todo número real é válido, então o domínio é .
Portanto, o domínio de é .

Passo 3

2. Subtração das funções:
Vamos agora subtrair de :
Determinando o domínio:
Assim como na soma, o domínio de é onde ambas as funções estão definidas.
  • requer .
  • está definido para todo .
Logo, o domínio de também é .

Passo 4

3. Multiplicação das funções:
Multiplicamos as duas funções:
Determinando o domínio:
Novamente, precisamos que ambas as funções estejam definidas.
  • exige .
  • é válido para todo .
Portanto, o domínio de é .

Passo 5

4. Divisão das funções:
Dividimos por :
Determinando o domínio:
Para a divisão estar definida:
  1. Ambas as funções devem estar definidas:
  2. O denominador não pode ser zero:
Como nunca é zero para números reais (porque e adicionamos 4), não há restrição adicional.
Então, o domínio de é .

Passo 6

5. Divisão das funções:
Agora, dividimos por :
Determinando o domínio:
Para essa divisão:
  1. Ambas as funções devem estar definidas:
  2. O denominador não pode ser zero:
Portanto, o domínio de é .

Passo 7

6. Composição das funções:
A composição significa que a gente vai colocar dentro de :
Determinando o domínio:
Para :
  • Primeiro, está definido para todo .
  • Depois, a expressão dentro de precisa ser válida:
Como , então está sempre válido.
Logo, o domínio de é .

Passo 8

7. Composição das funções:
Agora, a gente vai compor , ou seja, colocar dentro de :
Determinando o domínio:
Para :
  • Primeiro, exige .
  • Depois, aplicar a não impõe nenhuma restrição adicional, já que está definida para todo .
Portanto, o domínio de é .

Resposta

As funções resultantes e seus domínios são:
  1. (x) = , domínio:
  2. (x) = , domínio:
  3. (x) = , domínio:
  4. (x) = , domínio:
  5. (x) = , domínio:
  6. (x) = , domínio:
  7. (x) = , domínio:

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As funções e são definidas abaixo. Defina, para cadá item, as funç oes ; ; ; ; . A seguir, determine o domínio da função resultante:
e