1, 0 pt Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, calcule o limite. Se divergir, justifique:
a_n = (4 + 10 * n^2) / (-5 * n^2 + 2)

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente tem uma sequência definida por . Nosso objetivo é descobrir se essa sequência converge (tem um limite definido) ou diverge (não tem limite). Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e analisar o comportamento dos termos à medida que cresce.

Passo 2

Primeiro, vamos observar os termos de maior grau no numerador e no denominador, que são os que mais influenciam o comportamento da sequência quando fica muito grande. No numerador, o termo de maior grau é e no denominador é .

Passo 3

Quando temos uma fração onde os termos de maior grau no numerador e no denominador são polinômios do mesmo grau, o limite da sequência é a razão dos coeficientes desses termos. Isso simplifica muito nosso cálculo!

Passo 4

Então, vamos identificar os coeficientes dos termos de maior grau:
  • No numerador: o coeficiente de é 10.
  • No denominador: o coeficiente de é -5.

Passo 5

Agora, aplicamos a regra mencionada: o limite será a razão desses coeficientes.

Resposta

A sequência converge e o seu limite é .

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