Resolva as seguintes EDO d/y dx = 2x / (x^2 + 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Esse tipo de problema tá na área de Cálculo, especificamente envolvendo equações diferenciais e integrais. Para resolver, vamos precisar integrar o lado direito da equação em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma que facilite a integração:
Isso significa que a derivada de em relação a é igual a . Nosso objetivo é encontrar a função .

Passo 3

Para encontrar , precisamos integrar ambos os lados da equação em relação a :
Aqui, é a constante de integração que aparece porque a integral indefinida resulta em uma família de funções.

Passo 4

Vamos resolver a integral . Observe que o numerador, , é a derivada do denominador, . Isso sugere que podemos usar uma substituição simples. Vamos definir:
Então, a derivada de em relação a é:
Isso simplifica nossa integral para:

Passo 5

A integral é uma integral básica que resulta no logaritmo natural:
Substituindo de volta , temos:
Como é sempre positivo, podemos simplificar para:

Resposta

Portanto, a solução da equação diferencial é:

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