Encontre a soma da série.
23.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a soma da série
. Isso está relacionado ao conteúdo de séries infinitas e funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como manipular termos de séries e usar a definição da função exponencial.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série. Note que
, então podemos reescrever a série assim:
Isso nos ajuda a separar o fator
da soma.
Passo 3
Agora, vamos ajustar o índice da soma para facilitar a comparação com a série da função exponencial. Vamos fazer uma mudança de variável: seja
. Quando
,
, e quando
vai para infinito,
também vai para infinito. Assim, a série fica:
Simplificando
para
, temos:
Passo 4
Agora, reconhecemos que a série
é a expansão da função exponencial
. Então, a nossa série é quase essa, mas começa em
em vez de
. Assim:
Pois
.
Resposta
A soma da série é
.
Exercícios relacionados
Resolva as seguintes EDO
em que
e
são números reais (constantes), é convergente se
e a sua soma é
Mostre que se
, então, a Série Geométrica é divergente.
Resolva as seguintes EDO