Encontre a soma da série.
23. sumn=0^infty x^n+1(n+1)!

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a soma da série . Isso está relacionado ao conteúdo de séries infinitas e funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como manipular termos de séries e usar a definição da função exponencial.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série. Note que sumn=0^infty x^n+1(n+1)! = x sumn=0^infty x^n(n+1)! , então podemos reescrever a série assim:
Isso nos ajuda a separar o fator da soma.

Passo 3

Agora, vamos ajustar o índice da soma para facilitar a comparação com a série da função exponencial. Vamos fazer uma mudança de variável: seja x summ=1^infty x^m-1m! . Quando x cdot 1x summ=1^infty x^mm! = summ=1^infty x^mm! , , e quando vai para infinito, também vai para infinito. Assim, a série fica:
Simplificando para , temos:

Passo 4

Agora, reconhecemos que a série summ=1^infty x^mm! = e^x - x^00! = e^x - 1 é a expansão da função exponencial . Então, a nossa série é quase essa, mas começa em em vez de . Assim:
Pois .

Resposta

A soma da série é .

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