Encontre a soma da série.
23.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a soma da série . Isso está relacionado ao conteúdo de séries infinitas e funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como manipular termos de séries e usar a definição da função exponencial.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série. Note que , então podemos reescrever a série assim:
Isso nos ajuda a separar o fator da soma.

Passo 3

Agora, vamos ajustar o índice da soma para facilitar a comparação com a série da função exponencial. Vamos fazer uma mudança de variável: seja . Quando , , e quando vai para infinito, também vai para infinito. Assim, a série fica:
Simplificando para , temos:

Passo 4

Agora, reconhecemos que a série é a expansão da função exponencial . Então, a nossa série é quase essa, mas começa em em vez de . Assim:
Pois .

Resposta

A soma da série é .

Exercícios relacionados

Resolva as seguintes EDO
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, calcule o limite. Se divergir, justifique:
Mostre que a Série Geométrica
em que e são números reais (constantes), é convergente se e a sua soma é
Mostre que se , então, a Série Geométrica é divergente.
Resolva as seguintes EDO