Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. {-10^n}/(n!)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se a sequência {-10^n}/(n!) converge ou diverge. Se convergir, precisamos encontrar o limite. Para isso, vamos usar conceitos de análise de sequências e limites, além de entender como o fatorial ( ) e exponenciais se comportam quando n cresce.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a sequência: . Aqui, temos uma potência de elevada a n e dividida pelo fatorial de n. O fatorial ( ) cresce muito rapidamente conforme n aumenta, muito mais rápido que qualquer potência fixa.

Passo 3

Para investigar o comportamento dessa sequência quando n tende ao infinito, analisamos o limite:
Sabemos que, apesar da base elevada a n crescer em magnitude, o fatorial no denominador cresce ainda mais rápido, o que faz com que o quociente diminua à medida que n aumenta.

Passo 4

Podemos aplicar o teste da razão, que é útil para sequências envolvendo fatoriais e exponenciais. Aplicando o teste:
Como o limite é menor que 1, a sequência converge para 0.

Resposta

A sequência {-10^n}/(n!) converge e o seu limite é 0.

Exercícios relacionados