Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se a sequência converge ou diverge. Se convergir, precisamos encontrar o limite. Para isso, vamos usar conceitos de análise de sequências e limites, além de entender como o fatorial () e exponenciais se comportam quando cresce.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a sequência: . Aqui, temos uma potência de elevada a e dividida pelo fatorial de . O fatorial () cresce muito rapidamente conforme aumenta, muito mais rápido que qualquer potência fixa.
Passo 3
Para investigar o comportamento dessa sequência quando tende ao infinito, analisamos o limite:
Sabemos que, apesar da base elevada a crescer em magnitude, o fatorial no denominador cresce ainda mais rápido, o que faz com que o quociente diminua à medida que aumenta.
Passo 4
Podemos aplicar o teste da razão, que é útil para sequências envolvendo fatoriais e exponenciais. Aplicando o teste:
Como o limite é menor que 1, a sequência converge para 0.