Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.

Passo 1

Vamos lá! Temos a sequência . Nosso objetivo é descobrir se essa sequência converge (isto é, se ela se aproxima de um número específico conforme aumenta) ou diverge (não se aproxima de nenhum número). Se ela convergir, também vamos encontrar o limite, ou seja, o número para o qual está se aproximando. Para isso, vamos utilizar conceitos de limites de sequências, especialmente para sequências que são frações envolvendo polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento da sequência conforme cresce. Quando fica muito grande, termos de menor grau têm menos influência. No nosso caso, tanto no numerador quanto no denominador, o termo de maior grau é . Isso significa que, para valores muito grandes de , a sequência se comporta aproximadamente como .

Passo 3

Simplificando a expressão aproximada , vemos que os se cancelam, ficando apenas . Isso sugere que, conforme aumenta, os demais termos (como os constantes 3 no numerador e 1 no denominador) têm uma influência cada vez menor, e a sequência se aproxima de 5.

Passo 4

Para confirmar isso matematicamente, podemos calcular o limite da sequência quando tende ao infinito:
No passo acima, dividimos numerador e denominador por para simplificar, e observamos que os termos que envolvem tendem a zero quando vai para o infinito.

Resposta

A sequência converge e o seu limite é .

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Resolva a seguinte EDO: , para .
c) Dê a Solução Geral, .
Resolva a seguinte EDO: , para .
a) Encontre a Solução Homogênea, ;
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.