Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício pede. A gente precisa descobrir se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também tem que encontrar o limite. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre limites de sequências e como funções limitadas se comportam quando divididas por termos que crescem sem limite.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função seno, , sempre vai dar valores entre -1 e 1, não importa qual seja o valor de . Isso significa que é uma função limitada.

Passo 3

Agora, olhamos para o denominador da nossa sequência, que é . Conforme cresce, ele vai para o infinito, ou seja, fica cada vez maior sem parar.

Passo 4

Quando a gente tem uma sequência onde o numerador é limitado (no nosso caso, está sempre entre -1 e 1) e o denominador cresce sem limite, a razão entre eles tende a zero. Isso acontece porque os valores crescentes de fazem com que fique cada vez menor.

Passo 5

Matematicamente, podemos expressar isso assim:
Isso significa que, conforme fica muito grande, se aproxima de zero.

Resposta

A sequência converge e o limite é .

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