Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício pede. A gente precisa descobrir se a sequência
converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também tem que encontrar o limite. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre limites de sequências e como funções limitadas se comportam quando divididas por termos que crescem sem limite.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função seno,
, sempre vai dar valores entre -1 e 1, não importa qual seja o valor de
. Isso significa que
é uma função limitada.
Passo 3
Agora, olhamos para o denominador da nossa sequência, que é
. Conforme
cresce, ele vai para o infinito, ou seja, fica cada vez maior sem parar.
Passo 4
Quando a gente tem uma sequência onde o numerador é limitado (no nosso caso,
está sempre entre -1 e 1) e o denominador cresce sem limite, a razão entre eles tende a zero. Isso acontece porque os valores crescentes de
fazem com que
fique cada vez menor.
Passo 5
Matematicamente, podemos expressar isso assim:
Isso significa que, conforme
fica muito grande,
se aproxima de zero.
Resposta
A sequência
converge e o limite é
.
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