Resolva a seguinte EDO:
, para
.
c) Dê a Solução Geral,
.
c) Dê a Solução Geral,
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que é do tipo
para
. O conteúdo que vamos utilizar aqui é equações diferenciais de coeficientes variáveis, especificamente a equação de Cauchy-Euler. Precisamos encontrar a solução geral
, onde
é a solução da equação homogênea e
é uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Essa é uma equação de Cauchy-Euler, onde assumimos uma solução da forma
. Vamos encontrar o valor de
.
Passo 3
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação homogênea:
Passo 4
Para que a equação seja satisfeita para todo
, o coeficiente de
deve ser zero:
Resolvendo a equação quadrática:
Passo 5
Assim, as soluções da equação homogênea são:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
Como o lado direito é um polinômio de grau 2, assumimos uma solução particular da forma:
onde
e
são constantes a serem determinadas.
Passo 7
Calculando as derivadas de
:
Substituindo na equação completa:
Igualando os coeficientes:
Portanto, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da EDO é: