Resolva a seguinte EDO: , para .
c) Dê a Solução Geral, .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que é do tipo para . O conteúdo que vamos utilizar aqui é equações diferenciais de coeficientes variáveis, especificamente a equação de Cauchy-Euler. Precisamos encontrar a solução geral , onde é a solução da equação homogênea e é uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Essa é uma equação de Cauchy-Euler, onde assumimos uma solução da forma . Vamos encontrar o valor de .
Passo 3
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação homogênea:
Passo 4
Para que a equação seja satisfeita para todo , o coeficiente de deve ser zero:
Resolvendo a equação quadrática:
Passo 5
Assim, as soluções da equação homogênea são:
onde e são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Como o lado direito é um polinômio de grau 2, assumimos uma solução particular da forma: