Resolva a seguinte EDO: t^2 y'' - 3y = 3t^2 - 1, para t > 0.
c) Dê a Solução Geral, Y = Yh + Yp.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que é do tipo para . O conteúdo que vamos utilizar aqui é equações diferenciais de coeficientes variáveis, especificamente a equação de Cauchy-Euler. Precisamos encontrar a solução geral , onde é a solução da equação homogênea e é uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Essa é uma equação de Cauchy-Euler, onde assumimos uma solução da forma . Vamos encontrar o valor de .

Passo 3

Calculando as derivadas:
Substituindo na equação homogênea:

Passo 4

Para que a equação seja satisfeita para todo , o coeficiente de deve ser zero:
Resolvendo a equação quadrática:

Passo 5

Assim, as soluções da equação homogênea são:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Como o lado direito é um polinômio de grau 2, assumimos uma solução particular da forma:
onde e são constantes a serem determinadas.

Passo 7

Calculando as derivadas de :
Substituindo na equação completa:
Igualando os coeficientes:
Portanto, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da EDO é:

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