Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
a_n = (n^2 + 2n + 5) / (2n^2 + 4n - 2)

Passo 1

Beleza, temos a sequência . O que a gente precisa fazer aqui é descobrir se essa sequência chega a um número específico quando fica bem grande, ou seja, se ela converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências, focando nos termos que mais pesam no numerador e no denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para os termos de maior grau no numerador e no denominador. No numerador, o termo com maior grau é , e no denominador é . Esses termos vão determinar principalmente o comportamento da sequência quando cresce.

Passo 3

Para simplificar a análise, vamos dividir todos os termos do numerador e do denominador por . Assim, a expressão fica:

Passo 4

Agora, vamos analisar o que acontece com cada termo quando tende ao infinito. Sabemos que e vão para zero conforme fica cada vez maior. Assim, podemos simplificar a expressão:

Passo 5

Então, concluímos que a sequência se aproxima de quando cresce sem limite. Isso significa que a sequência converge.

Resposta

A sequência converge e o seu limite é .

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