Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
Passo 1
Beleza, temos a sequência
. O que a gente precisa fazer aqui é descobrir se essa sequência chega a um número específico quando
fica bem grande, ou seja, se ela converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências, focando nos termos que mais pesam no numerador e no denominador.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para os termos de maior grau no numerador e no denominador. No numerador, o termo com maior grau é
, e no denominador é
. Esses termos vão determinar principalmente o comportamento da sequência quando
cresce.
Passo 3
Para simplificar a análise, vamos dividir todos os termos do numerador e do denominador por
. Assim, a expressão fica:
Passo 4
Agora, vamos analisar o que acontece com cada termo quando
tende ao infinito. Sabemos que
e
vão para zero conforme
fica cada vez maior. Assim, podemos simplificar a expressão:
Passo 5
Então, concluímos que a sequência
se aproxima de
quando
cresce sem limite. Isso significa que a sequência converge.
Resposta
A sequência converge e o seu limite é
.