Nos Problemas 1-30, encontre uma segunda soluçâo para cada equaçăo diferencial. Use reduçilo de ordem ou a formula (4) como ensinada. Suponha um intervalo apropriado.
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Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado pede. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
Nos dizem que uma solução dessa equação é
. Nosso objetivo é encontrar uma segunda solução
que seja independente de
. Para isso, vamos usar o método de redução de ordem, que nos ajuda a encontrar uma segunda solução quando já conhecemos uma solução da equação homogênea.
Passo 2
O método de redução de ordem assume que a segunda solução
pode ser escrita como:
Aqui,
é uma função que precisamos determinar.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 4
Substituímos
,
e
na equação original:
Simplificando os termos:
Passo 5
Agrupando termos semelhantes:
Simplifica para:
Passo 6
Dividimos toda a equação por
para simplificar:
Passo 7
Essa equação pode ser reescrita como:
Observamos que é uma equação linear de segunda ordem para
.
Passo 8
Vamos fazer uma substituição para simplificar. Seja
, então
. A equação fica:
Passo 9
Essa é uma equação linear para
. Podemos usar um fator integrante para resolvê-la. O fator integrante
é:
Multiplicando a equação por
:
Passo 10
Reescrevemos a equação:
Integrando ambos os lados:
Aqui,
é a constante de integração.
Passo 11
Substituindo
:
Esta é uma equação diferencial para
. Para simplificar, assumimos que
:
Passo 12
Resolvendo a integral, encontramos que:
Onde
é uma constante.
Passo 13
Agora, substituímos
na expressão para
:
No entanto, isso resulta em uma solução trivial. Para obter uma solução não trivial, retornamos à expressão anteriomente simplificada e seguimos outro caminho de integração.
Passo 14
Voltando ao passo 6, reescrevemos a equação:
Notamos que isso sugere uma solução da forma
:
Passo 15
Portanto, a segunda solução é:
Resposta
A segunda solução é
.
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