Nos Problemas 1-30, encontre uma segunda soluçâo para cada equaçăo diferencial. Use reduçilo de ordem ou a formula (4) como ensinada. Suponha um intervalo apropriado.
18.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado pede. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
Nos dizem que uma solução dessa equação é . Nosso objetivo é encontrar uma segunda solução que seja independente de . Para isso, vamos usar o método de redução de ordem, que nos ajuda a encontrar uma segunda solução quando já conhecemos uma solução da equação homogênea.

Passo 2

O método de redução de ordem assume que a segunda solução pode ser escrita como:
Aqui, é uma função que precisamos determinar.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 4

Substituímos , e na equação original:
Simplificando os termos:

Passo 5

Agrupando termos semelhantes:
Simplifica para:

Passo 6

Dividimos toda a equação por para simplificar:

Passo 7

Essa equação pode ser reescrita como:
Observamos que é uma equação linear de segunda ordem para .

Passo 8

Vamos fazer uma substituição para simplificar. Seja , então . A equação fica:

Passo 9

Essa é uma equação linear para . Podemos usar um fator integrante para resolvê-la. O fator integrante é:
Multiplicando a equação por :

Passo 10

Reescrevemos a equação:
Integrando ambos os lados:
Aqui, é a constante de integração.

Passo 11

Substituindo :
Esta é uma equação diferencial para . Para simplificar, assumimos que :

Passo 12

Resolvendo a integral, encontramos que:
Onde é uma constante.

Passo 13

Agora, substituímos na expressão para :
No entanto, isso resulta em uma solução trivial. Para obter uma solução não trivial, retornamos à expressão anteriomente simplificada e seguimos outro caminho de integração.

Passo 14

Voltando ao passo 6, reescrevemos a equação:
Notamos que isso sugere uma solução da forma :

Passo 15

Portanto, a segunda solução é:

Resposta

A segunda solução é .

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