Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
a_n = (2n^3 + 5) / (3n^2 + 1)

Passo 1

Vamos analisar a sequência para determinar se ela converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências, focando no comportamento da sequência conforme cresce muito.

Passo 2

Primeiro, identificamos os termos de maior grau no numerador e no denominador. No numerador, o termo de maior grau é e no denominador é . Esses termos são importantes porque, conforme aumenta, eles dominam o comportamento da sequência.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dividindo tanto o numerador quanto o denominador pelo maior poder de presente no denominador, que é :

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite dessa expressão quando tende ao infinito:
  • cresce sem limites, ou seja, tende a .
  • tende a 0.
  • permanece constante.
  • tende a 0.
Substituindo esses limites na expressão simplificada:

Passo 5

Como o limite da sequência é infinito, isso significa que a sequência não se aproxima de nenhum número finito. Portanto, a sequência divergente.

Resposta

A sequência diverge.

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