Determine se a sequência é crescente ou decrescente. (Obs: você pode utilizar o argumento de que se a(n+1)/a(n) > 1 a sequência é crescente. Se a_(n+1)/a_n < 1 a sequência é decrescente.
a_n = (2n + 1) / (n!)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar se a sequência é crescente ou decrescente. A gente vai usar um argumento que compara cada termo com o próximo: se , a sequência está aumentando; se , ela está diminuindo. Para isso, vamos precisar calcular essa razão entre termos consecutivos.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a expressão para . Substituímos por na fórmula original:
Simplificando o numerador:

Passo 3

Agora, vamos calcular a razão :
Para simplificar essa fração, lembramos que . Então:

Passo 4

Vamos analisar o sinal de . O denominador é sempre positivo para , então a razão depende apenas do numerador :
Agora, vamos ver se essa razão é maior ou menor que 1:
Rearranjando:
Expandindo o lado direito:
Subtraindo de ambos os lados:
Resolvendo a inequação, percebemos que para , a expressão é sempre positiva. Portanto:

Resposta

A sequência é decrescente.

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