Determine se a sequência é crescente ou decrescente. (Obs: você pode utilizar o argumento de que se
a sequência é crescente. Se
a sequência é decrescente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar se a sequência
é crescente ou decrescente. A gente vai usar um argumento que compara cada termo com o próximo: se
, a sequência está aumentando; se
, ela está diminuindo. Para isso, vamos precisar calcular essa razão entre termos consecutivos.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a expressão para
. Substituímos
por
na fórmula original:
Simplificando o numerador:
Passo 3
Agora, vamos calcular a razão
:
Para simplificar essa fração, lembramos que
. Então:
Passo 4
Vamos analisar o sinal de
. O denominador
é sempre positivo para
, então a razão depende apenas do numerador
:
Agora, vamos ver se essa razão é maior ou menor que 1:
Rearranjando:
Expandindo o lado direito:
Subtraindo
de ambos os lados:
Resolvendo a inequação, percebemos que para
, a expressão é sempre positiva. Portanto:
Resposta
A sequência
é decrescente.
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a sequência é crescente. Se
a sequência é decrescente.
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a sequência é decrescente.
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
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