Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: precisamos determinar se a sequência
converge ou diverge. Se ela convergir, temos que encontrar o seu limite. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e análise de funções racionais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência convergir. Dizemos que uma sequência
converge para um limite
se, à medida que
cresce sem limite, os valores de
se aproximam cada vez mais de
.
Passo 3
No caso da nossa sequência
, estamos lidando com uma função racional, ou seja, um quociente de dois polinômios. Para encontrar o limite quando
tende ao infinito, observamos os termos de maior grau no numerador e no denominador.
Passo 4
Vamos dividir tanto o numerador quanto o denominador por
, que é o maior grau presente:
Passo 5
Agora, analisamos o limite da expressão obtida quando
tende ao infinito. Sabemos que
tende a zero, pois o denominador cresce muito mais rápido que o numerador. Então:
Resposta
A sequência
converge e o seu limite é
.
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Encontre uma fórmula para o termo geral
da sequência.
Liste os cinco primeiros termos da sequência.
, onde
é a soma dos
primeiros números ímpares.
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