Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: precisamos determinar se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, temos que encontrar o seu limite. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e análise de funções racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência convergir. Dizemos que uma sequência converge para um limite se, à medida que cresce sem limite, os valores de se aproximam cada vez mais de .

Passo 3

No caso da nossa sequência , estamos lidando com uma função racional, ou seja, um quociente de dois polinômios. Para encontrar o limite quando tende ao infinito, observamos os termos de maior grau no numerador e no denominador.

Passo 4

Vamos dividir tanto o numerador quanto o denominador por , que é o maior grau presente:

Passo 5

Agora, analisamos o limite da expressão obtida quando tende ao infinito. Sabemos que tende a zero, pois o denominador cresce muito mais rápido que o numerador. Então:

Resposta

A sequência converge e o seu limite é .

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