Encontre uma fórmula para o termo geral da sequência.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de sequências. A gente precisa achar uma fórmula para o termo geral da sequência . Isso envolve entender como os termos se repetem e usar um pouco de matemática para generalizar essa repetição.

Passo 2

Observando a sequência, vemos que os termos alternam entre 0 e 2. Ou seja, nas posições ímpares temos 0 e nas posições pares temos 2. Para representar essa alternância, podemos usar a função , que alterna entre 1 e -1 conforme o valor de muda de par para ímpar.

Passo 3

Vamos pensar em como manipular para que ele nos dê 0 e 2. Se usarmos a expressão , ela alterna entre 2 e 0:
  • Quando é par: , então .
  • Quando é ímpar: , então .

Passo 4

Agora, multiplicamos essa expressão por 1 para manter os valores 0 e 2:
Isso funciona porque:
  • Para par: .
  • Para ímpar: .

Resposta

A fórmula para o termo geral da sequência é:

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Liste os cinco primeiros termos da sequência. , onde é a soma dos primeiros números ímpares.
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Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
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