Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. a_n = cos^2(n) / 3^n

Passo 1

Vamos analisar o problema: precisamos determinar se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, também vamos encontrar o seu limite. Para isso, vamos utilizar conceitos de sequências e limites, além de entender o comportamento das funções trigonométricas e das potências exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos observar o numerador da fração, que é . Sabemos que o cosseno de qualquer número real está entre -1 e 1, ou seja, . Quando elevamos o cosseno ao quadrado, temos . Portanto, o numerador é limitado e nunca será maior que 1.

Passo 3

Agora, vamos analisar o denominador, que é . Como aumenta, cresce exponencialmente. Isso significa que, conforme fica maior, tende a infinito.

Passo 4

Com o numerador limitado e o denominador crescendo para infinito, a fração vai se aproximando de zero. Em termos matemáticos, quando o denominador domina o numerador e tende a infinito, o limite da sequência é zero.

Resposta

A sequência converge e o seu limite é:

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