Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
Passo 1
Vamos analisar o problema: precisamos determinar se a sequência
converge ou diverge. Se ela convergir, também vamos encontrar o seu limite. Para isso, vamos utilizar conceitos de sequências e limites, além de entender o comportamento das funções trigonométricas e das potências exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos observar o numerador da fração, que é
. Sabemos que o cosseno de qualquer número real está entre -1 e 1, ou seja,
. Quando elevamos o cosseno ao quadrado, temos
. Portanto, o numerador é limitado e nunca será maior que 1.
Passo 3
Agora, vamos analisar o denominador, que é
. Como
aumenta,
cresce exponencialmente. Isso significa que, conforme
fica maior,
tende a infinito.
Passo 4
Com o numerador limitado e o denominador crescendo para infinito, a fração
vai se aproximando de zero. Em termos matemáticos, quando o denominador domina o numerador e tende a infinito, o limite da sequência é zero.
Resposta
A sequência
converge e o seu limite é: