Resolva a seguinte EDO: , para .
a) Encontre a Solução Homogênea, ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) que foi dada: para . A parte que a gente vai focar agora é encontrar a Solução Homogênea. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre equações homogêneas e como encontrar soluções base para elas.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte homogênea da EDO, ou seja, ignorar o lado direito da equação. A equação homogênea é:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes que dependem de . Para resolver esse tipo de equação, uma técnica bacana é tentar uma solução do tipo potência, ou seja, assumir que , onde é uma constante que precisamos descobrir.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de :
Agora, substituímos , e na equação homogênea:
Passo 4
Simplificando essa expressão:
Então, a equação fica:
Podemos fatorar :
Como nunca é zero para , a expressão entre colchetes precisa ser zero:
Passo 5
Agora temos uma equação característica quadrática:
Vamos resolver essa equação para usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções para são:
Passo 6
Com esses valores de , a solução homogênea é uma combinação linear das duas soluções encontradas:
Onde e são constantes que serão determinadas por condições iniciais ou de contorno.