Resolva a seguinte EDO:
, para
.
a) Encontre a Solução Homogênea,
;
a) Encontre a Solução Homogênea,
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) que foi dada:
para
. A parte que a gente vai focar agora é encontrar a Solução Homogênea
. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre equações homogêneas e como encontrar soluções base para elas.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte homogênea da EDO, ou seja, ignorar o lado direito da equação. A equação homogênea é:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes que dependem de
. Para resolver esse tipo de equação, uma técnica bacana é tentar uma solução do tipo potência, ou seja, assumir que
, onde
é uma constante que precisamos descobrir.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
:
Agora, substituímos
,
e
na equação homogênea:
Passo 4
Simplificando essa expressão:
Então, a equação fica:
Podemos fatorar
:
Como
nunca é zero para
, a expressão entre colchetes precisa ser zero:
Passo 5
Agora temos uma equação característica quadrática:
Vamos resolver essa equação para
usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções para
são:
Passo 6
Com esses valores de
, a solução homogênea
é uma combinação linear das duas soluções encontradas:
Onde
e
são constantes que serão determinadas por condições iniciais ou de contorno.
Resposta
A solução homogênea é: