Nos Problemas 1-30, encontre uma segunda soluçâo para cada equaçăo diferencial. Use reduçilo de ordem ou a formula (4) como ensinada. Suponha um intervalo apropriado.
27.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a equação diferencial e já conhecemos uma solução . O conteúdo que vamos usar aqui é equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para encontrar uma segunda solução, vamos usar o método de redução de ordem, que nos ajuda a encontrar outra solução independente quando já conhecemos uma solução da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o método de redução de ordem. Se conhecemos uma solução , podemos buscar a segunda solução na forma , onde é uma função que precisamos achar. Substituindo na equação original, vamos conseguir uma equação para .

Passo 3

Vamos definir . Agora, precisamos encontrar as derivadas de :

Passo 4

Substituímos , e na equação diferencial original:

Passo 5

Vamos simplificar a equação dividindo tudo por :
Expandindo os termos:

Passo 6

Agora, vamos combinar os termos semelhantes:
Simplificando:
Ou seja:

Passo 7

Essa equação pode ser simplificada dividindo tudo por :
Vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja , então . A equação fica:

Passo 8

Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem para . Podemos resolvê-la usando o fator integrante. O fator integrante é dado por:
Vamos calcular a integral no expoente:
Fazendo a substituição , então , ou . A integral fica:
Mas sabemos que , então . Substituindo:
Portanto, o fator integrante é:

Passo 9

Multiplicamos a equação diferencial por :
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Portanto:

Passo 10

Lembrando que , temos:
Agora, integramos para encontrar :
Fazendo a substituição , , ou :
Substituindo :

Passo 11

Como estamos buscando uma solução particular, ignoramos a constante . Portanto, a segunda solução é:
Podemos simplificar as constantes, então:

Resposta

A segunda solução da equação diferencial é .

Exercícios relacionados

Nos Problemas 1-30, encontre uma segunda soluçâo para cada equaçăo diferencial. Use reduçilo de ordem ou a formula (4) como ensinada. Suponha um intervalo apropriado.
18.
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
Nos exercícios de 51 a 55 , calcule o volume do sólido obitido pela rotação, em torno do eixo- , do conjunto de todos os pontos tais que
.
Nos exercícios de 51 a 55 , calcule o volume do sólido obitido pela rotação, em torno do eixo- , do conjunto de todos os pontos tais que
e .