Nos Problemas 1-30, encontre uma segunda soluçâo para cada equaçăo diferencial. Use reduçilo de ordem ou a formula (4) como ensinada. Suponha um intervalo apropriado.
27.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a equação diferencial
e já conhecemos uma solução
. O conteúdo que vamos usar aqui é equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para encontrar uma segunda solução, vamos usar o método de redução de ordem, que nos ajuda a encontrar outra solução independente quando já conhecemos uma solução da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o método de redução de ordem. Se conhecemos uma solução
, podemos buscar a segunda solução na forma
, onde
é uma função que precisamos achar. Substituindo
na equação original, vamos conseguir uma equação para
.
Passo 3
Vamos definir
. Agora, precisamos encontrar as derivadas de
:
Passo 4
Substituímos
,
e
na equação diferencial original:
Passo 5
Vamos simplificar a equação dividindo tudo por
:
Expandindo os termos:
Passo 6
Agora, vamos combinar os termos semelhantes:
Simplificando:
Ou seja:
Passo 7
Essa equação pode ser simplificada dividindo tudo por
:
Vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja
, então
. A equação fica:
Passo 8
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem para
. Podemos resolvê-la usando o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Vamos calcular a integral no expoente:
Fazendo a substituição
, então
, ou
. A integral fica:
Mas sabemos que
, então
. Substituindo:
Portanto, o fator integrante é:
Passo 9
Multiplicamos a equação diferencial por
:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Portanto:
Passo 10
Lembrando que
, temos:
Agora, integramos para encontrar
:
Fazendo a substituição
,
, ou
:
Substituindo
:
Passo 11
Como estamos buscando uma solução particular, ignoramos a constante
. Portanto, a segunda solução é:
Podemos simplificar as constantes, então:
Resposta
A segunda solução da equação diferencial é
.
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18.
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Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
Nos exercícios de 51 a 55 , calcule o volume do sólido obitido pela rotação, em torno do eixo-
, do conjunto de todos os pontos
tais que
.
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, do conjunto de todos os pontos
tais que
e
.