Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a sequência e precisamos descobrir se ela converge ou diverge. Se convergir, também queremos saber qual é o limite. Para resolver isso, vamos usar um pouco de análise de sequências e propriedades das funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o termo . Sabemos que a função seno sempre fica entre -1 e 1, ou seja:
Isso significa que, não importa o valor de
, nunca vai ser menor que -1 nem maior que 1.
Passo 3
Agora, vamos considerar o termo
. Conforme
aumenta,
vai ficando cada vez menor, tendendo a zero. Então, estamos multiplicando algo que está entre -1 e 1 por um número que está indo para zero.
Passo 4
Para juntar essas ideias, podemos usar o Teorema do Confronto (ou Teorema do Aperto). Esse teorema diz que se temos uma sequência
que está sempre entre duas outras sequências que convergem para o mesmo limite, então
também converge para esse limite.
No nosso caso, temos:
E sabemos que:
Passo 5
Aplicando o Teorema do Confronto, já que está sempre entre duas sequências que vão para 0, concluímos que:
Resposta
A sequência converge, e o seu limite é 0.
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no intervalo
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