Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a sequência e precisamos descobrir se ela converge ou diverge. Se convergir, também queremos saber qual é o limite. Para resolver isso, vamos usar um pouco de análise de sequências e propriedades das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o termo . Sabemos que a função seno sempre fica entre -1 e 1, ou seja:
Isso significa que, não importa o valor de , nunca vai ser menor que -1 nem maior que 1.

Passo 3

Agora, vamos considerar o termo . Conforme aumenta, vai ficando cada vez menor, tendendo a zero. Então, estamos multiplicando algo que está entre -1 e 1 por um número que está indo para zero.

Passo 4

Para juntar essas ideias, podemos usar o Teorema do Confronto (ou Teorema do Aperto). Esse teorema diz que se temos uma sequência que está sempre entre duas outras sequências que convergem para o mesmo limite, então também converge para esse limite.
No nosso caso, temos:
E sabemos que:

Passo 5

Aplicando o Teorema do Confronto, já que está sempre entre duas sequências que vão para 0, concluímos que:

Resposta

A sequência converge, e o seu limite é 0.

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