Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
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Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente descobrir se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, também vamos encontrar qual é o limite. Para isso, vamos usar algumas propriedades de logaritmos e noções de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão usando uma propriedade básica dos logaritmos. Sabemos que a diferença de logaritmos é igual ao logaritmo da divisão dos argumentos. Então:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a fração dentro do logaritmo:
Então, nossa sequência fica:

Passo 4

Para encontrar o limite dessa sequência quando tende ao infinito, vamos calcular:
Sabemos que quando cresce cada vez mais, fica cada vez menor, aproximando-se de 0.

Passo 5

Substituindo esse comportamento no limite:
E sabemos que .

Resposta

A sequência converge e o seu limite é 0.

Exercícios relacionados

Usando os teoremas acima e supondo que uma sequência é tal que , calcule os seguintes limites:
(k)
Calcule os seguintes limites
Mostre que
Seja uma sequência tal que
O limite existe? Se sim, qual seu valor?