Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente descobrir se a sequência
converge ou diverge. Se ela convergir, também vamos encontrar qual é o limite. Para isso, vamos usar algumas propriedades de logaritmos e noções de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão usando uma propriedade básica dos logaritmos. Sabemos que a diferença de logaritmos é igual ao logaritmo da divisão dos argumentos. Então:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a fração dentro do logaritmo:
Então, nossa sequência fica:
Passo 4
Para encontrar o limite dessa sequência quando
tende ao infinito, vamos calcular:
Sabemos que quando
cresce cada vez mais,
fica cada vez menor, aproximando-se de 0.
Passo 5
Substituindo esse comportamento no limite:
E sabemos que
.
Resposta
A sequência converge e o seu limite é 0.
Exercícios relacionados
Usando os teoremas acima e supondo que uma sequência
é tal que
, calcule os seguintes limites:
(k)
(k)
Calcule os seguintes limites
Mostre que
Seja
uma sequência tal que
O limite
existe? Se sim, qual seu valor?