Mostre que

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que o limite de quando tende ao infinito é igual a zero. Isso está relacionado ao estudo de sequências e limites, partes da matemática que lidam com como os números se comportam conforme vão aumentando. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é fatorial ( ) e como ele cresce conforme aumenta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é (fatorial de ). O fatorial de um número positivo inteiro é o produto de todos os números inteiros de 1 até :
Por exemplo, .

Passo 3

Agora, observamos que cresce muito rapidamente conforme aumenta. Isso significa que, conforme fica maior, se torna um número extremamente grande.

Passo 4

Estamos interessados em . Como cresce muito rápido, sua raiz quadrada também cresce rapidamente, embora um pouco menos rápido que sozinho.

Passo 5

Quando temos uma fração onde o denominador cresce muito rapidamente, como , a fração inteira diminui e se aproxima de zero. Isso porque o numerador (1) permanece constante, enquanto o denominador fica cada vez maior.

Passo 6

Formalizando, para qualquer número pequeno positivo , podemos encontrar um número tal que para todo :
Isso confirma que o limite de conforme tende ao infinito é de fato zero.

Resposta

Exercícios relacionados

Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
;
Usando os teoremas acima e supondo que uma sequência é tal que , calcule os seguintes limites:
(k)
Seja uma sequência tal que
O limite existe? Se sim, qual seu valor?
Se você aceitar o fato de que a sequência converge para , então de acordo com nossa definição, para todo existe um natural , tal que , quando . Em cada parte, encontre o menor valor de para o valor de dado:
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