Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que o limite de
quando
tende ao infinito é igual a zero. Isso está relacionado ao estudo de sequências e limites, partes da matemática que lidam com como os números se comportam conforme vão aumentando. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é fatorial (
) e como ele cresce conforme
aumenta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é
(fatorial de
). O fatorial de um número positivo inteiro
é o produto de todos os números inteiros de 1 até
:
Por exemplo,
.
Passo 3
Agora, observamos que
cresce muito rapidamente conforme
aumenta. Isso significa que, conforme
fica maior,
se torna um número extremamente grande.
Passo 4
Estamos interessados em
. Como
cresce muito rápido, sua raiz quadrada
também cresce rapidamente, embora um pouco menos rápido que
sozinho.
Passo 5
Quando temos uma fração onde o denominador cresce muito rapidamente, como
, a fração inteira
diminui e se aproxima de zero. Isso porque o numerador (1) permanece constante, enquanto o denominador fica cada vez maior.
Passo 6
Formalizando, para qualquer número pequeno positivo
, podemos encontrar um número
tal que para todo
:
Isso confirma que o limite de
conforme
tende ao infinito é de fato zero.
Resposta
Exercícios relacionados
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
;
Usando os teoremas acima e supondo que uma sequência
é tal que
, calcule os seguintes limites:
(k)
(k)
Seja
uma sequência tal que
O limite
existe? Se sim, qual seu valor?
Se você aceitar o fato de que a sequência
converge para
, então de acordo com nossa definição, para todo
existe um natural
, tal que
, quando
. Em cada parte, encontre o menor valor de
para o valor de
dado:
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