Usando os teoremas acima e supondo que uma sequência
é tal que
, calcule os seguintes limites:
(k)
(k)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcularmos o limite de
quando
tende ao infinito. Aqui, estamos lidando com sequências e limites, e vamos precisar usar algumas ferramentas da análise matemática, como o logaritmo e a fórmula de Stirling para facilitar nossos cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o limite de uma forma que seja mais fácil de trabalhar. Podemos tirar o logaritmo natural da expressão dentro do limite. Isso fica assim:
Tirar o logaritmo ajuda a simplificar multiplicações e potências, transformando-as em somas e produtos, que são mais fáceis de manejar.
Passo 3
Agora, precisamos de uma maneira de aproximar
. Para isso, usamos a fórmula de Stirling, que é uma aproximação para o fatorial de
quando
é grande. A fórmula de Stirling nos diz que:
Essa aproximação é muito útil porque simplifica o fatorial em termos de funções mais fáceis de lidar, especialmente quando
tende ao infinito.
Passo 4
Vamos substituir a aproximação de Stirling na nossa expressão original:
Agora, distribuímos o
dentro dos parênteses:
Passo 5
Observamos que
e
se cancelam:
À medida que
cresce, o termo
tende a zero, pois o denominador cresce mais rápido que o numerador.
Passo 6
Portanto, o limite do logaritmo da nossa expressão original é:
Para encontrar o limite original, precisamos desfazer o logaritmo. Se
, então
.
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Calcule os seguintes limites
Utilizando o Teorema do Confronto, calcule os seguinte limites:
(b)
(b)
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
;
Mostre que