Usando os teoremas acima e supondo que uma sequência an é tal que lim an=L in R, calcule os seguintes limites:
(k) lim n infty raiz[n]n!n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcularmos o limite de quando tende ao infinito. Aqui, estamos lidando com sequências e limites, e vamos precisar usar algumas ferramentas da análise matemática, como o logaritmo e a fórmula de Stirling para facilitar nossos cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o limite de uma forma que seja mais fácil de trabalhar. Podemos tirar o logaritmo natural da expressão dentro do limite. Isso fica assim:
ln(raiz[n]n!n) = 1n ln(n!) - ln(n)
Tirar o logaritmo ajuda a simplificar multiplicações e potências, transformando-as em somas e produtos, que são mais fáceis de manejar.

Passo 3

Agora, precisamos de uma maneira de aproximar ln(n!) approx n ln(n) - n + 12 ln(2pi n) . Para isso, usamos a fórmula de Stirling, que é uma aproximação para o fatorial de quando é grande. A fórmula de Stirling nos diz que:
Essa aproximação é muito útil porque simplifica o fatorial em termos de funções mais fáceis de lidar, especialmente quando tende ao infinito.

Passo 4

Vamos substituir a aproximação de Stirling na nossa expressão original:
1n ln(n!) - ln(n) approx 1n ( n ln(n) - n + 12 ln(2pi n) ) - ln(n)
Agora, distribuímos o = ln(n) - 1 + 12n ln(2pi n) - ln(n) dentro dos parênteses:

Passo 5

Observamos que = -1 + 12n ln(2pi n) e se cancelam:
À medida que cresce, o termo tende a zero, pois o denominador cresce mais rápido que o numerador.

Passo 6

Portanto, o limite do logaritmo da nossa expressão original é:
limn to infty ( -1 + 12n ln(2pi n) ) = -1
Para encontrar o limite original, precisamos desfazer o logaritmo. Se , então .

Resposta

O limite é .

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