Temperatura inicial de uma barra homogênea fina de comprimento
é
. Na uma extremidade da barra é mantida temperatura
e na outra
. Determinar temperatura da barra
para
0 . Determinar também temperatura em regime estacionário,
. A difusividade térmica na barra é
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício pede. Temos uma barra fina e homogênea de comprimento
cuja temperatura inicial é
. Uma extremidade da barra está mantida na temperatura
e a outra na temperatura
. Precisamos determinar a temperatura
ao longo da barra para qualquer tempo
e também encontrar a temperatura em regime estacionário, que chamaremos de
. Para resolver isso, vamos usar os conceitos da equação de difusão do calor e aplicar as condições de contorno fornecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a equação que descreve a distribuição de temperatura ao longo do tempo em uma barra fina: a equação de calor. Ela é dada por:
Aqui,
é a temperatura na posição
e no tempo
, e
é a difusividade térmica da barra.
Passo 3
As condições iniciais e de contorno que temos são:
- Temperatura inicial:
- Condições de contorno:
Essas condições nos dizem que, no tempo inicial, toda a barra está na mesma temperatura
, e as extremidades da barra são mantidas constantes em
e
, respectivamente.
Passo 4
Para resolver a equação de calor com essas condições, vamos procurar uma solução da forma:
Onde
é a solução estacionária (quando
) e
é a parte transitória que desaparece com o tempo.
Passo 5
Primeiro, vamos encontrar a solução estacionária
. Nesse caso, a derivada em relação ao tempo é zero, então a equação de calor fica:
Isso simplifica para:
Passo 6
A solução geral dessa equação diferencial é uma função linear:
Agora, aplicamos as condições de contorno para encontrar as constantes
e
.
Passo 7
Aplicando
:
Aplicando
:
Passo 8
Substituindo
e
na expressão de
:
Essa é a temperatura em regime estacionário.
Passo 9
Agora, para encontrar a solução completa
, precisamos considerar a parte transitória
. A equação diferencial para
é a mesma equação de calor homogênea:
Com condições de contorno homogêneas:
E condição inicial:
Passo 10
A solução para
pode ser expressa em série de Fourier:
Os coeficientes
são determinados pela expansão da condição inicial em série de seno.
Passo 11
Calculando os coeficientes
:
Substituindo
:
Passo 12
Resolvendo a integral, obtemos os valores de
. A solução geral fica então:
Resposta
A temperatura na barra para qualquer tempo
é dada por:
E a temperatura em regime estacionário é: