Temperatura inicial de uma barra homogênea fina de comprimento l é U0. Na uma extremidade da barra é mantida temperatura U1 e na outra U2. Determinar temperatura da barra u(x, t) para t> 0 . Determinar também temperatura em regime estacionário, ue(x)=lim t infty u(x, t). A difusividade térmica na barra é a.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício pede. Temos uma barra fina e homogênea de comprimento cuja temperatura inicial é . Uma extremidade da barra está mantida na temperatura e a outra na temperatura . Precisamos determinar a temperatura ao longo da barra para qualquer tempo e também encontrar a temperatura em regime estacionário, que chamaremos de . Para resolver isso, vamos usar os conceitos da equação de difusão do calor e aplicar as condições de contorno fornecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a equação que descreve a distribuição de temperatura ao longo do tempo em uma barra fina: a equação de calor. Ela é dada por:
partial upartial t = a partial^2 upartial x^2
Aqui, é a temperatura na posição e no tempo , e é a difusividade térmica da barra.

Passo 3

As condições iniciais e de contorno que temos são:
  1. Temperatura inicial:
u(x, 0) = U0
  1. Condições de contorno:
u(0, t) = U1 e u(l, t) = U2
Essas condições nos dizem que, no tempo inicial, toda a barra está na mesma temperatura , e as extremidades da barra são mantidas constantes em e , respectivamente.

Passo 4

Para resolver a equação de calor com essas condições, vamos procurar uma solução da forma:
u(x, t) = ue(x) + v(x, t)
Onde é a solução estacionária (quando ) e é a parte transitória que desaparece com o tempo.

Passo 5

Primeiro, vamos encontrar a solução estacionária 0 = a d^2 uedx^2 . Nesse caso, a derivada em relação ao tempo é zero, então a equação de calor fica:
d^2 uedx^2 = 0
Isso simplifica para:

Passo 6

A solução geral dessa equação diferencial é uma função linear:
ue(x) = C1 x + C2
Agora, aplicamos as condições de contorno para encontrar as constantes e .

Passo 7

Aplicando U1 = C1 cdot 0 + C2 Rightarrow C2 = U1 :
U2 = C1 cdot l + U1 Rightarrow C1 = U2 - U1l
Aplicando :

Passo 8

Substituindo ue(x) = U2 - U1l x + U1 e na expressão de :
Essa é a temperatura em regime estacionário.

Passo 9

Agora, para encontrar a solução completa partial vpartial t = a partial^2 vpartial x^2 , precisamos considerar a parte transitória v(0, t) = 0 e v(l, t) = 0 . A equação diferencial para v(x, 0) = U0 - ue(x) é a mesma equação de calor homogênea:
Com condições de contorno homogêneas:
E condição inicial:

Passo 10

A solução para v(x, t) = sumn=1^infty Bn sin(npi xl) e^-a (npil)^2 t pode ser expressa em série de Fourier:
Os coeficientes são determinados pela expansão da condição inicial em série de seno.

Passo 11

Calculando os coeficientes Bn = 2l integral0^l (U0 - ue(x)) sin(npi xl) dx :
Bn = 2l integral0^l (U0 - (U2 - U1l x + U1)) sin(npi xl) dx
Substituindo :

Passo 12

Resolvendo a integral, obtemos os valores de u(x, t) = ue(x) + sumn=1^infty Bn sin(npi xl) e^-a (npil)^2 t . A solução geral fica então:

Resposta

A temperatura na barra para qualquer tempo u(x, t) = U2 - U1l x + U1 + sumn=1^infty Bn sin(npi xl) e^-a (npil)^2 t é dada por:
ue(x) = U2 - U1l x + U1
E a temperatura em regime estacionário é:

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