Representar a função
no intervalo
em termos dos polinômios de Legendre: a)
; b)
. Observação: pode ser usada a propriedade de ortogonalidade dos polinômios de Legendre
Ou em outra formulação. Encontrar a decomposiçao da função
em uma série por polinômios de Legendre
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa representar as funções
no intervalo
usando os polinômios de Legendre. Os polinômios de Legendre são uma sequência de polinômios ortogonais muito úteis em várias áreas da matemática e física. Para isso, vamos usar a propriedade de ortogonalidade deles, que basicamente nos ajuda a decompor qualquer função em uma série desses polinômios. Vamos fazer isso para duas funções:
a)
b)
a)
b)
Passo 2
Primeiro, vamos entender como decompor uma função em uma série de polinômios de Legendre. A ideia é escrever
como uma soma infinita:
Onde
são os polinômios de Legendre e
são os coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 3
Para encontrar os coeficientes
, usamos a propriedade de ortogonalidade dos polinômios de Legendre, que nos diz:
Aqui,
é o delta de Kronecker, que é 1 quando
e 0 caso contrário. Isso significa que os polinômios de Legendre são “perpendiculares” uns aos outros no intervalo
.
Passo 4
Para encontrar cada coeficiente
, multiplicamos ambos os lados da série por
e integramos de
a
:
Devido à ortogonalidade, todos os termos dessa soma vão ser zero, exceto quando
. Assim, temos:
Passo 5
Agora, vamos aplicar isso para a parte a) do exercício:
.
Passo 6
Primeiro, expandimos a função:
Agora, precisamos calcular
para diferentes valores de
.
Passo 7
Vamos calcular alguns coeficientes
. Conhecendo os primeiros polinômios de Legendre:
Vamos calcular
,
e
.
Passo 8
Para
:
Sabemos que
(porque é uma função ímpar) e
. Então:
Passo 9
Para
:
Aqui,
e
. Então:
Passo 10
Para
:
Simplificando e sabendo que integrais de funções ímpares são zero:
Passo 11
Assim, a decomposição da função
em polinômios de Legendre fica:
Para uma aproximação, podemos parar aqui, mas a série continua infinitamente.
Passo 12
Agora, vamos para a parte b) do exercício:
.
Passo 13
Primeiro, expandimos a função:
Vamos calcular os coeficientes
para alguns valores de
.
Passo 14
Para
:
Sabemos que
e
. Então:
Passo 15
Para
:
Aqui,
e
. Então:
Passo 16
Para
:
Simplificando e sabendo que integrais de funções ímpares são zero:
Resposta
a) A decomposição da função
em polinômios de Legendre no intervalo
é:
b) A decomposição da função
em polinômios de Legendre no intervalo
é: