Representar a função f(x) no intervalo (-1,1) em termos dos polinômios de Legendre: a) f(x)=x(x+1); b) f(x)=x^2(x-1). Observação: pode ser usada a propriedade de ortogonalidade dos polinômios de Legendre
integral-1^1 Pn(x) Pm d x=22 n+1 de
Ou em outra formulação. Encontrar a decomposiçao da função f(x) em uma série por polinômios de Legendre sumk=0^infty ck Pk(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa representar as funções no intervalo usando os polinômios de Legendre. Os polinômios de Legendre são uma sequência de polinômios ortogonais muito úteis em várias áreas da matemática e física. Para isso, vamos usar a propriedade de ortogonalidade deles, que basicamente nos ajuda a decompor qualquer função em uma série desses polinômios. Vamos fazer isso para duas funções:
a)
b)

Passo 2

Primeiro, vamos entender como decompor uma função em uma série de polinômios de Legendre. A ideia é escrever f(x) = sumk=0^infty ck Pk(x) como uma soma infinita:
Onde são os polinômios de Legendre e são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

Para encontrar os coeficientes integral-1^1 Pn(x) Pm(x) , dx = 22n + 1 de, usamos a propriedade de ortogonalidade dos polinômios de Legendre, que nos diz:
Aqui, é o delta de Kronecker, que é 1 quando e 0 caso contrário. Isso significa que os polinômios de Legendre são “perpendiculares” uns aos outros no intervalo .

Passo 4

Para encontrar cada coeficiente integral-1^1 f(x) Pk(x) , dx = sumn=0^infty cn integral-1^1 Pn(x) Pk(x) , dx , multiplicamos ambos os lados da série por ck = 2k + 12 integral-1^1 f(x) Pk(x) , dx e integramos de a :
Devido à ortogonalidade, todos os termos dessa soma vão ser zero, exceto quando . Assim, temos:

Passo 5

Agora, vamos aplicar isso para a parte a) do exercício: .

Passo 6

Primeiro, expandimos a função:
f(x) = x(x + 1) = x^2 + x
Agora, precisamos calcular para diferentes valores de .

Passo 7

Vamos calcular alguns coeficientes P0(x) = 1, P1(x) = x, P2(x) = 3x^2 - 12, P3(x) = 5x^3 - 3x2, ldots . Conhecendo os primeiros polinômios de Legendre:
Vamos calcular , e .

Passo 8

Para c0 = 2 cdot 0 + 12 integral-1^1 (x^2 + x) cdot 1 , dx = 12 ( integral-1^1 x^2 , dx + integral-1^1 x , dx ) :
c0 = 12 cdot 23 = 13
Sabemos que (porque é uma função ímpar) e . Então:

Passo 9

Para c1 = 2 cdot 1 + 12 integral-1^1 (x^2 + x) cdot x , dx = 32 integral-1^1 (x^3 + x^2) , dx :
c1 = 32 cdot 23 = 1
Aqui, e . Então:

Passo 10

Para c2 = 2 cdot 2 + 12 integral-1^1 (x^2 + x) cdot 3x^2 - 12 , dx = 52 cdot 12 integral-1^1 (3x^4 - x^2 + 3x^3 - x) , dx :
c2 = 54 ( 3 cdot 25 - 1 cdot 23 ) = 54 ( 65 - 23 ) = 54 ( 18 - 1015 ) = 54 cdot 815 = 4060 = 23
Simplificando e sabendo que integrais de funções ímpares são zero:

Passo 11

Assim, a decomposição da função f(x) = 13 P0(x) + 1 cdot P1(x) + 23 P2(x) + ldots em polinômios de Legendre fica:
Para uma aproximação, podemos parar aqui, mas a série continua infinitamente.

Passo 12

Agora, vamos para a parte b) do exercício: .

Passo 13

Primeiro, expandimos a função:
f(x) = x^2(x - 1) = x^3 - x^2
Vamos calcular os coeficientes para alguns valores de .

Passo 14

Para c0 = 12 integral-1^1 (x^3 - x^2) cdot 1 , dx = 12 ( integral-1^1 x^3 , dx - integral-1^1 x^2 , dx ) :
c0 = 12 ( 0 - 23 ) = -13
Sabemos que e . Então:

Passo 15

Para c1 = 32 integral-1^1 (x^3 - x^2) cdot x , dx = 32 integral-1^1 (x^4 - x^3) , dx :
c1 = 32 cdot 25 = 65
Aqui, e . Então:

Passo 16

Para c2 = 52 integral-1^1 (x^3 - x^2) cdot 3x^2 - 12 , dx = 54 integral-1^1 (3x^5 - x^3 - 3x^4 + x^2) , dx :
c2 = 54 ( 0 - 0 - 3 cdot 25 + 1 cdot 23 ) = 54 ( -65 + 23 ) = 54 ( -1815 + 1015 ) = 54 cdot ( -815 ) = -4060 = -23
Simplificando e sabendo que integrais de funções ímpares são zero:

Resposta

a) A decomposição da função f(x) = 13 P0(x) + P1(x) + 23 P2(x) + ldots em polinômios de Legendre no intervalo f(x) = -13 P0(x) + 65 P1(x) - 23 P2(x) + ldots é:
b) A decomposição da função em polinômios de Legendre no intervalo é:

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