M=x e^y-z^2, x=2 u v, y=u-v, z=u+v; partial Mpartial u, partial Mpartial v , quando u=3, v=-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular as derivadas parciais de em relação a e nas condições e . Estamos trabalhando com funções multivariáveis e vamos usar a regra da cadeia para resolver isso. Precisaremos das expressões de , , e em termos de e .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever todas as funções fornecidas:
M = x cdot e^y - z^2
x = 2uv
y = u - v
z = u + v

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar e . Para isso, vamos aplicar a regra da cadeia, que nos permite calcular derivadas de funções compostas.

Passo 4

Vamos calcular partial Mpartial u = partial Mpartial x cdot partial xpartial u + partial Mpartial y cdot partial ypartial u + partial Mpartial z cdot partial zpartial u :

Passo 5

Primeiro, encontramos as derivadas parciais de partial Mpartial x = e^y - z^2 :
partial Mpartial y = x cdot e^y - z^2
partial Mpartial z = x cdot e^y - z^2 cdot (-2z)

Passo 6

Agora, calculamos as derivadas parciais de partial xpartial u = 2v , partial ypartial u = 1 e partial zpartial u = 1 em relação a :

Passo 7

Substituindo essas derivadas na expressão de partial Mpartial u = e^y - z^2 cdot 2v + x cdot e^y - z^2 cdot 1 + x cdot e^y - z^2 cdot (-2z) cdot 1 :
partial Mpartial u = 2v e^y - z^2 + x e^y - z^2 - 2xz e^y - z^2

Passo 8

Simplificando a expressão:
partial Mpartial u = e^y - z^2 (2v + x - 2xz)

Passo 9

Agora, vamos calcular partial Mpartial v = partial Mpartial x cdot partial xpartial v + partial Mpartial y cdot partial ypartial v + partial Mpartial z cdot partial zpartial v da mesma maneira:

Passo 10

Calculando as derivadas parciais de partial xpartial v = 2u , partial ypartial v = -1 e partial zpartial v = 1 em relação a :

Passo 11

Substituindo na expressão de partial Mpartial v = e^y - z^2 cdot 2u + x cdot e^y - z^2 cdot (-1) + x cdot e^y - z^2 cdot (-2z) cdot 1 :
partial Mpartial v = 2u e^y - z^2 - x e^y - z^2 - 2xz e^y - z^2

Passo 12

Simplificando:
partial Mpartial v = e^y - z^2 (2u - x - 2xz)

Passo 13

Agora, vamos substituir x = 2uv = 2 cdot 3 cdot (-1) = -6 e y = u - v = 3 - (-1) = 4 nas expressões para encontrar os valores numéricos.
Primeiro, calculamos z = u + v = 3 + (-1) = 2 , e :

Passo 14

Calculando y - z^2 = 4 - (2)^2 = 4 - 4 = 0 :
Então, .

Passo 15

Substituindo na expressão de partial Mpartial u = 1 cdot (2 cdot (-1) + (-6) - 2 cdot (-6) cdot 2) :
partial Mpartial u = (-2 -6 + 24) = 16

Passo 16

Agora, substituindo na expressão de partial Mpartial v = 1 cdot (2 cdot 3 - (-6) - 2 cdot (-6) cdot 2) :
partial Mpartial v = (6 +6 +24) = 36

Resposta

As derivadas parciais são:
partial Mpartial u = 16
partial Mpartial v = 36

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