; , quando

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular as derivadas parciais de em relação a e nas condições e . Estamos trabalhando com funções multivariáveis e vamos usar a regra da cadeia para resolver isso. Precisaremos das expressões de , , e em termos de e .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever todas as funções fornecidas:

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar e . Para isso, vamos aplicar a regra da cadeia, que nos permite calcular derivadas de funções compostas.

Passo 4

Vamos calcular :

Passo 5

Primeiro, encontramos as derivadas parciais de :

Passo 6

Agora, calculamos as derivadas parciais de , e em relação a :

Passo 7

Substituindo essas derivadas na expressão de :

Passo 8

Simplificando a expressão:

Passo 9

Agora, vamos calcular da mesma maneira:

Passo 10

Calculando as derivadas parciais de , e em relação a :

Passo 11

Substituindo na expressão de :

Passo 12

Simplificando:

Passo 13

Agora, vamos substituir e nas expressões para encontrar os valores numéricos.
Primeiro, calculamos , e :

Passo 14

Calculando :
Então, .

Passo 15

Substituindo na expressão de :

Passo 16

Agora, substituindo na expressão de :

Resposta

As derivadas parciais são:

Exercícios relacionados

Utilize o teste dos caminhos para provar a não existência dos seguintes limites:
Calcule a derivada das curvas dadas a seguir:
Liste os cinco primeiros termos das sequências abaixo: .
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. .