Investindo
, 00 a uma taxa de juros de
, capitalizados anualmente, depois de
anos o montante será de
dólares.
Determine a quantidade de anos necessários para obter um montante de
.
Determine a quantidade de anos necessários para obter um montante de
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Você tem R$ 1.000,00 investidos a uma taxa de juros de 6% ao ano, com os juros sendo capitalizados anualmente. Queremos descobrir em quantos anos esse investimento vai crescer para R$ 1.000.000,00. Para resolver isso, vamos usar a fórmula de juros compostos e um pouco de logaritmos.
Passo 2
A fórmula para calcular o montante final em juros compostos é:
Onde:
-
é o montante após anos. -
é o principal (o valor inicial investido), que aqui é R$ 1.000,00. -
é a taxa de juros anual (6%, ou 0,06 em decimal). -
é o número de anos.
Passo 3
Substituindo os valores na fórmula, temos:
Isso simplifica para:
Passo 4
Para resolver para
, precisamos “desfazer” a exponenciação. Usamos logaritmos para isso. A propriedade dos logaritmos que utilizamos é:
Passo 5
Aplicando o logaritmo em ambos os lados da equação:
Passo 6
Agora, isolamos
:
Passo 7
Calculando os logaritmos (usando a base 10):
Então:
Resposta
São necessários aproximadamente 119 anos para o montante atingir R$ 1.000.000,00.
Exercícios relacionados
Utilizando o Teorema do Confronto, calcule os seguinte limites:
©
©
Determine o termo geral da sequência
e calcule seu limite
Se você aceitar o fato de que a sequência
converge para
, então de acordo com nossa definição, para todo
existe um natural
, tal que
, quando
. Em cada parte, encontre o menor valor de
para o valor de
dado:
(b)
(b)
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.