Investindo R, 00 a uma taxa de juros de 00 a uma taxa de juros de 00, capitalizados anualmente, depois de capitalizados anualmente, depois de anos o montante será de
anos o montante será de
dólares.
Determine a quantidade de anos necessários para obter um montante de a_n = 1000 * (1,06)^n.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Você tem R$ 1.000,00 investidos a uma taxa de juros de 6% ao ano, com os juros sendo capitalizados anualmente. Queremos descobrir em quantos anos esse investimento vai crescer para R$ 1.000.000,00. Para resolver isso, vamos usar a fórmula de juros compostos e um pouco de logaritmos.

Passo 2

A fórmula para calcular o montante final em juros compostos é:
Onde:
  • é o montante após anos.
  • é o principal (o valor inicial investido), que aqui é R$ 1.000,00.
  • é a taxa de juros anual (6%, ou 0,06 em decimal).
  • é o número de anos.

Passo 3

Substituindo os valores na fórmula, temos:
Isso simplifica para:

Passo 4

Para resolver para , precisamos “desfazer” a exponenciação. Usamos logaritmos para isso. A propriedade dos logaritmos que utilizamos é:

Passo 5

Aplicando o logaritmo em ambos os lados da equação:

Passo 6

Agora, isolamos :

Passo 7

Calculando os logaritmos (usando a base 10):
Então:

Resposta

São necessários aproximadamente 119 anos para o montante atingir R$ 1.000.000,00.

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