Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções abaixo:
f(x, y) = x^2 * y + y * cos(x) + sen(y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar todas as derivadas parciais de segunda ordem da função . Estamos lidando com cálculo multivariável, especificamente com derivadas parciais. Para resolver isso, vamos primeiro encontrar as derivadas parciais de primeira ordem em relação a e , e depois derivar essas derivadas novamente para obter as de segunda ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada parcial de primeira ordem em relação a , que vamos chamar de . Quando derivamos em relação a , tratamos como uma constante. Vamos lá:
Derivando termo a termo em relação a :
  • A derivada de em relação a é (já que é constante).
  • A derivada de em relação a é (usamos a regra da cadeia).
  • A derivada de em relação a é 0, porque é tratado como constante.
Então,

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de primeira ordem em relação a , que chamaremos de . Desta vez, derivamos em relação a , tratando como constante:
Novamente, a função é:
Derivando termo a termo em relação a :
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .
Assim,

Passo 4

Agora que temos as derivadas parciais de primeira ordem, vamos derivá-las novamente para encontrar as derivadas parciais de segunda ordem.
Primeiro, vamos encontrar , que é a derivada de em relação a :
Derivando em relação a :
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .
Então,

Passo 5

Em seguida, vamos encontrar , que é a derivada de em relação a :
Derivando em relação a :
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .
Assim,

Passo 6

Agora, vamos encontrar , que é a derivada de em relação a :
Derivando em relação a :
  • A derivada de em relação a é 0, pois é constante.
  • A derivada de em relação a é 0, novamente porque é constante.
  • A derivada de em relação a é .
Portanto,

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem de são:

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