Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
. Estamos lidando com cálculo multivariável, especificamente com derivadas parciais. Para resolver isso, vamos primeiro encontrar as derivadas parciais de primeira ordem em relação a
e
, e depois derivar essas derivadas novamente para obter as de segunda ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a derivada parcial de primeira ordem em relação a
, que vamos chamar de
. Quando derivamos em relação a
, tratamos
como uma constante. Vamos lá:
Derivando termo a termo em relação a
:
- A derivada de
em relação a é (já que é constante). - A derivada de
em relação a é (usamos a regra da cadeia). - A derivada de
em relação a é 0, porque é tratado como constante.
Então,
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de primeira ordem em relação a
, que chamaremos de
. Desta vez, derivamos em relação a
, tratando
como constante:
Novamente, a função é:
Derivando termo a termo em relação a
:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é .
Assim,
Passo 4
Agora que temos as derivadas parciais de primeira ordem, vamos derivá-las novamente para encontrar as derivadas parciais de segunda ordem.
Primeiro, vamos encontrar
, que é a derivada de
em relação a
:
Derivando em relação a
:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é .
Então,
Passo 5
Em seguida, vamos encontrar
, que é a derivada de
em relação a
:
Derivando em relação a
:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é .
Assim,
Passo 6
Agora, vamos encontrar
, que é a derivada de
em relação a
:
Derivando em relação a
:
- A derivada de
em relação a é 0, pois é constante. - A derivada de
em relação a é 0, novamente porque é constante. - A derivada de
em relação a é .
Portanto,
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem de
são: