Utilizando o Teorema do Confronto, calcule os seguinte limites:
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um limite que envolve fatorial e uma sequência de termos com raízes quadradas. O enunciado pede para usar o Teorema do Confronto (ou Teorema do Squeeze) para calcular o limite a seguir:
Então, vamos precisar entender um pouco sobre crescimento de funções, fatoriais e como aplicar o Teorema do Confronto para encontrar o comportamento desse limite quando
cresce sem parar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema do Confronto. Esse teorema diz que se tivermos três funções
,
e
tais que
para todo
além de certo ponto, e se
, então
também.
Basicamente, se conseguimos “prender” nossa função entre duas funções que têm o mesmo limite, então nossa função também terá esse limite.
Passo 3
Vamos analisar o denominador da nossa expressão:
Cada termo
é maior que
e menor que
. Isso porque
para
, então:
Passo 4
Agora, vamos multiplicar essas desigualdades de
até
:
Simplificando:
O produto das raízes quadradas é igual a
, então:
Passo 5
Vamos reescrever a nossa expressão original usando essas desigualdades:
Simplificando as frações:
Sabemos que
. Então, temos:
E do outro lado:
Então, agora temos:
Passo 6
Agora, vamos calcular os limites das funções que “confrontam” a nossa expressão:
- Limite inferior:
Isso porque
cresce exponencialmente, tornando a fração cada vez menor.
- Limite superior:
Aqui,
cresce sem limites, então a fração também tende a zero.
Passo 7
Como vimos, tanto o limite inferior quanto o limite superior são iguais a zero. Pelo Teorema do Confronto, isso significa que o limite da nossa expressão intermediária também é zero.
Resposta
Exercícios relacionados
Se
é um número real tal que
, mostre que
O que acontece se
ou
?
Usando os teoremas acima e supondo que uma sequência
é tal que
, calcule os seguintes limites:
(l) Mostre que
(l) Mostre que
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
.
Se você aceitar o fato de que a sequência
converge para
, então de acordo com nossa definição, para todo
existe um natural
, tal que
, quando
. Em cada parte, encontre o menor valor de
para o valor de
dado:
(a)
(a)