Utilizando o Teorema do Confronto, calcule os seguinte limites:
(a) lim raiz(n-1)!(1+raiz1)(1+raiz2) ldots(1+raizn)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um limite que envolve fatorial e uma sequência de termos com raízes quadradas. O enunciado pede para usar o Teorema do Confronto (ou Teorema do Squeeze) para calcular o limite a seguir:
limn to infty raiz(n-1)!(1+raiz1)(1+raiz2) ldots (1+raizn)
Então, vamos precisar entender um pouco sobre crescimento de funções, fatoriais e como aplicar o Teorema do Confronto para encontrar o comportamento desse limite quando cresce sem parar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema do Confronto. Esse teorema diz que se tivermos três funções , e tais que para todo além de certo ponto, e se , então também.
Basicamente, se conseguimos “prender” nossa função entre duas funções que têm o mesmo limite, então nossa função também terá esse limite.

Passo 3

Vamos analisar o denominador da nossa expressão:
(1+raiz1)(1+raiz2) ldots (1+raizn) = prodk=1^n (1 + raizk)
Cada termo raizk <= 1 + raizk <= 2raizk é maior que e menor que . Isso porque para , então:

Passo 4

Agora, vamos multiplicar essas desigualdades de prodk=1^n raizk <= prodk=1^n (1 + raizk) <= prodk=1^n 2raizk até (raiz1 cdot raiz2 cdot ldots cdot raizn) <= prodk=1^n (1 + raizk) <= 2^n (raiz1 cdot raiz2 cdot ldots cdot raizn) :
raizn! <= prodk=1^n (1 + raizk) <= 2^n raizn!
Simplificando:
O produto das raízes quadradas é igual a , então:

Passo 5

Vamos reescrever a nossa expressão original usando essas desigualdades:
raiz(n-1)!2^n raizn! <= raiz(n-1)!prodk=1^n (1 + raizk) <= raiz(n-1)!raizn!
Simplificando as frações:
Sabemos que raiz(n-1)!2^n raizn! = raiz(n-1)!2^n raizn cdot raiz(n-1)! = 12^n raizn . Então, temos:
raiz(n-1)!raizn! = raiz(n-1)!raizn cdot raiz(n-1)! = 1raizn
E do outro lado:
12^n raizn <= raiz(n-1)!prodk=1^n (1 + raizk) <= 1raizn
Então, agora temos:

Passo 6

Agora, vamos calcular os limites das funções que “confrontam” a nossa expressão:
  1. Limite inferior:
limn to infty 12^n raizn = 0
Isso porque limn to infty 1raizn = 0 cresce exponencialmente, tornando a fração cada vez menor.
  1. Limite superior:
Aqui, cresce sem limites, então a fração também tende a zero.

Passo 7

Como vimos, tanto o limite inferior quanto o limite superior são iguais a zero. Pelo Teorema do Confronto, isso significa que o limite da nossa expressão intermediária também é zero.

Resposta

limn to infty raiz(n-1)!(1+raiz1)(1+raiz2) ldots (1+raizn) = 0

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