Utilizando o Teorema do Confronto, calcule os seguinte limites:
(a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um limite que envolve fatorial e uma sequência de termos com raízes quadradas. O enunciado pede para usar o Teorema do Confronto (ou Teorema do Squeeze) para calcular o limite a seguir:
Então, vamos precisar entender um pouco sobre crescimento de funções, fatoriais e como aplicar o Teorema do Confronto para encontrar o comportamento desse limite quando cresce sem parar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema do Confronto. Esse teorema diz que se tivermos três funções , e tais que para todo além de certo ponto, e se , então também.
Basicamente, se conseguimos “prender” nossa função entre duas funções que têm o mesmo limite, então nossa função também terá esse limite.

Passo 3

Vamos analisar o denominador da nossa expressão:
Cada termo é maior que e menor que . Isso porque para , então:

Passo 4

Agora, vamos multiplicar essas desigualdades de até :
Simplificando:
O produto das raízes quadradas é igual a , então:

Passo 5

Vamos reescrever a nossa expressão original usando essas desigualdades:
Simplificando as frações:
Sabemos que . Então, temos:
E do outro lado:
Então, agora temos:

Passo 6

Agora, vamos calcular os limites das funções que “confrontam” a nossa expressão:
  1. Limite inferior:
Isso porque cresce exponencialmente, tornando a fração cada vez menor.
  1. Limite superior:
Aqui, cresce sem limites, então a fração também tende a zero.

Passo 7

Como vimos, tanto o limite inferior quanto o limite superior são iguais a zero. Pelo Teorema do Confronto, isso significa que o limite da nossa expressão intermediária também é zero.

Resposta

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Se é um número real tal que , mostre que
O que acontece se ou ?
Usando os teoremas acima e supondo que uma sequência é tal que , calcule os seguintes limites:
(l) Mostre que
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
.
Se você aceitar o fato de que a sequência converge para , então de acordo com nossa definição, para todo existe um natural , tal que , quando . Em cada parte, encontre o menor valor de para o valor de dado:
(a)