Se r é um número real tal que |r|<1, mostre que
lim n infty r^n=0
O que acontece se r=1 ou r=-1 ?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um número real lim n infty r^n=0 que satisfaz e queremos mostrar que:
Isso envolve o conceito de limites de sequências e o comportamento de potências de números com valor absoluto menor que 1 quando elevadas a potências cada vez maiores. Além disso, precisamos analisar o que acontece quando ou .

Passo 2

Vamos começar entendendo o que significa . Isso quer dizer que o valor absoluto de é menor que 1, ou seja, está entre -1 e 1 (não incluindo -1 e 1).

Passo 3

Quando temos 0.5^1 = 0.5 0.5^2 = 0.25 0.5^3 = 0.125 , ao elevar a uma potência cada vez maior, o valor de vai ficando cada vez menor. Por exemplo, se :
E assim por diante. Percebemos que os valores estão se aproximando de 0.

Passo 4

Matematicamente, para limn to infty r^n = 0 , podemos afirmar que:
Isso ocorre porque, quanto maior fica, menores são os valores de , tendendo a zero.

Passo 5

Agora, vamos analisar o que acontece quando 1^n = 1 para todo n ou limn to infty 1^n = 1 .
  • Se (-1)^n = 1 & se n é par -1 & se n é ímpar :
Portanto,
  • Se :
ééí
Isso significa que a sequência oscila entre 1 e -1 e não converge para um único valor.

Resposta

Portanto, se , então . Se , o limite é 1, e se , a sequência não tem limite, pois oscila entre 1 e -1.

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