Se
é um número real tal que
, mostre que
O que acontece se
ou
?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um número real
que satisfaz
e queremos mostrar que:
Isso envolve o conceito de limites de sequências e o comportamento de potências de números com valor absoluto menor que 1 quando elevadas a potências cada vez maiores. Além disso, precisamos analisar o que acontece quando
ou
.
Passo 2
Vamos começar entendendo o que significa
. Isso quer dizer que o valor absoluto de
é menor que 1, ou seja,
está entre -1 e 1 (não incluindo -1 e 1).
Passo 3
Quando temos
, ao elevar
a uma potência cada vez maior, o valor de
vai ficando cada vez menor. Por exemplo, se
:
E assim por diante. Percebemos que os valores estão se aproximando de 0.
Passo 4
Matematicamente, para
, podemos afirmar que:
Isso ocorre porque, quanto maior
fica, menores são os valores de
, tendendo a zero.
Passo 5
Agora, vamos analisar o que acontece quando
ou
.
- Se
:
Portanto,
- Se
:
Isso significa que a sequência oscila entre 1 e -1 e não converge para um único valor.
Resposta
Portanto, se
, então
. Se
, o limite é 1, e se
, a sequência não tem limite, pois oscila entre 1 e -1.
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Usando os teoremas acima e supondo que uma sequência
é tal que
, calcule os seguintes limites:
(l) Mostre que
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Usando os teoremas acima e supondo que uma sequência
é tal que
, calcule os seguintes limites:
(i)
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Utilizando o Teorema do Confronto, calcule os seguinte limites:
(a)
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Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
.