Determine se a sequência converge ou oliverge; se convergir oiche o limite.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente recebeu um exercício que pergunta se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, precisamos descobrir qual é o seu limite. Para resolver isso, vamos usar conceitos de sequências geométricas e propriedades dos limites. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que a nossa sequência é uma sequência geométrica. Uma sequência geométrica tem a forma geral:
onde:
  • é o primeiro termo,
  • é a razão comum.
No nosso caso, e .

Passo 3

Agora, para saber se a sequência converge ou diverge, precisamos analisar o valor absoluto da razão :
A regra é: uma sequência geométrica converge se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja, . Se , a sequência diverge.

Passo 4

No nosso caso, , que é menor que 1. Isso significa que a sequência converge.

Passo 5

Como a sequência converge, podemos encontrar o seu limite usando a fórmula do limite de uma sequência geométrica quando :
Isso acontece porque, quando , tende a 0 conforme cresce para o infinito.

Resposta

A sequência converge e o seu limite é 0.

Exercícios relacionados

Utilize os teoremas e propriedades para calcular os limites abaixo. Justifique os cálculos mencionando as propriedades utilizadas
a)
Identifique o domínio natural (matemático) de
b)
Utilizando o conceito de derivada, identifique se a função é derivável em algum ponto e no caso positivo obtenha a regra de derivação da função e calcule o valor da derivada em um ponto escolhido adequadamente.
a)
Calcule as partes real e imaginária de em função das partes real e imaginária de
b)