Utilizando o conceito de derivada, identifique se a função é derivável em algum ponto e no caso positivo obtenha a regra de derivação da função e calcule o valor da derivada em um ponto escolhido adequadamente.
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o conceito de derivada para verificar se a função
é derivável em algum ponto. Para isso, vamos precisar entender o que é derivada de uma função complexa e como verificar a derivabilidade usando as condições de Cauchy-Riemann.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é um número complexo que pode ser escrito como
, onde
e
são números reais, e
é a unidade imaginária. A função
é o conjugado de
, então
.
Passo 3
Agora, vamos calcular
. O módulo de
é igual ao módulo de
, ou seja,
. Portanto:
Então, nossa função fica:
Passo 4
Para verificar se
é derivável em algum ponto, precisamos checar se ela satisfaz as Equações de Cauchy-Riemann. Vamos escrever
em termos de suas partes real
e imaginária
. No nosso caso:
Passo 5
As Equações de Cauchy-Riemann são:
Vamos calcular as derivadas parciais:
Passo 6
Substituindo nas Equações de Cauchy-Riemann:
A única solução que satisfaz essas equações é
e
, ou seja,
.
Passo 7
Isso significa que a função
é derivável somente no ponto
. Agora, vamos encontrar a regra de derivação da função nesse ponto.
Passo 8
A derivada de
em um ponto onde ela é derivável é dada por:
No ponto
:
Já que
no ponto
.
Resposta
A função
é derivável somente no ponto
, e a derivada nesse ponto é
.
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a)
a)
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em função das partes real e imaginária de
b)
b)
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a)
a)