Utilizando o conceito de derivada, identifique se a função é derivável em algum ponto e no caso positivo obtenha a regra de derivação da função e calcule o valor da derivada em um ponto escolhido adequadamente.
a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o conceito de derivada para verificar se a função é derivável em algum ponto. Para isso, vamos precisar entender o que é derivada de uma função complexa e como verificar a derivabilidade usando as condições de Cauchy-Riemann.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é um número complexo que pode ser escrito como , onde e são números reais, e é a unidade imaginária. A função é o conjugado de , então .

Passo 3

Agora, vamos calcular . O módulo de é igual ao módulo de , ou seja, . Portanto:
Então, nossa função fica:

Passo 4

Para verificar se é derivável em algum ponto, precisamos checar se ela satisfaz as Equações de Cauchy-Riemann. Vamos escrever em termos de suas partes real e imaginária . No nosso caso:

Passo 5

As Equações de Cauchy-Riemann são:
Vamos calcular as derivadas parciais:

Passo 6

Substituindo nas Equações de Cauchy-Riemann:
A única solução que satisfaz essas equações é e , ou seja, .

Passo 7

Isso significa que a função é derivável somente no ponto . Agora, vamos encontrar a regra de derivação da função nesse ponto.

Passo 8

A derivada de em um ponto onde ela é derivável é dada por:
No ponto :
Já que no ponto .

Resposta

A função é derivável somente no ponto , e a derivada nesse ponto é .

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